Demuestre si $B^2=I+BA$ y $A^2=AB$ entonces $A=0$

Question

Tengo que demostrar que si $B^2=I+BA$ y $A^2=AB$ entonces $A=0$ , $A$ y $B$ son matrices cuadradas. No estoy seguro de que mi respuesta sea correcta, pero se me ocurrió esto:

$$A^2-B^2=A^2+AB-BA-B^2=A^2+A^2-(B^2-I)-B^2=2(A^2-B^2)+I$$ $$\Rightarrow B^2-A^2=I=(B-A)(B+A)$$

Esto significa que $(B-A)$ es invertible. También se da que $I=B^2-AB$ entonces: $$B^2-AB=B^2-A^2$$ $$\Leftrightarrow B(B-A)=(B+A)(B-A)$$

Porque hemos demostrado que $(B-A)$ es invertible entonces podemos simplificar y obtener $B=B+A \Rightarrow A=0$

Answer 1

$B^2 = I +BA\implies B(B - A) = I$ Así que $B-A$ es invertible; por lo tanto $A-B$ es invertible. Ahora:

$A^2 = AB \implies A(A-B) = 0 \implies A(A-B)(A-B)^{-1} = 0 \implies A = 0$ .

Answer 2

$A^3=ABA=A(B^2-I)=AB^2-A=(AB)B-A=A^2B-A=A(AB)-A=A^3-A$

$\implies A=0$