Expectativa condicional con probabilidades para una suma de variables aleatorias independientes

Question

Tengo un r.v. $S_N$ construido como una suma de Bernoulli con parámetro $p$ . Así que $S_N = X_1 + X_2 + \ldots + X_N$ . Existe una segunda variable N, tal que $N \sim Poisson(\lambda) $ .

Tengo que calcular:

1. $P(S_N=0)$
2. $\mathop{\mathbb{E}}(S_N \ | \ N = 4 )$
3. $\mathop{\mathbb{E}}(S_N \ | \ N )$

Ahora, para el primer punto, necesito pensar mi suma de Bernoulli como una Binomial. Por lo tanto:

$$ P(S_N = 0) = \binom{n}{0} p^k (1-p)^{n-k} = (1-p)^n $$

Sin embargo, estoy atascado con las dos expectativas. Pero recuerdo que para la expectativa condicional para dos variables aleatorias discretas se mantiene:

$$ \mathop{\mathbb{E}}(X \ | \ Y = k ) = \sum_x x \ f_{X|Y}(x|y) $$

Answer 1

En el problema 2, $N=4$ es una constante. Por lo tanto, $S_N$ es una variable binomial cuya media es igual a $4p$ (suponiendo que el Bernoulli toma valor 1 o 0).

Para el problema 3: En general para la distribución binomial con $N=n$ la media es $np$ . Ahora para $N$ es una variable aleatoria, la media es entonces $E[np]=\bar{n}p$ . En particular, cuando $N$ es de distribución Poisson, $\bar{n}=\lambda$ por lo que la media es $\lambda p$ .