¿Cómo es la función $|z|^2$ ¿en ningún sitio analítico?

Question

Poniendo $z=x+iy,f(z)=|z|^2=(x^2-y^2)+2ixy$

$$\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}=2x $$

$$\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}=-2y $$ por lo que satisface la ecuación de Cauchy Riemann. Pero no es analítica en ninguna parte. ¿Cómo? Sí, cometí un error al tomar $|z|^2$ . Así que ahora entiendo cómo funciona. Muchas gracias

Answer 1

Ha cometido un error al representar $|z|^2$ -- es $x^2 + y^2$ no $(x^2 - y^2) + 2xy i$ (que en cambio representa $z^2$ ).

Answer 2

Las condiciones de Cauchy-Riemann (suficientes) se satisfacen efectivamente en todas partes, y todas las parciales son funciones elementales, y como tales son diferenciables en todo el plano. La función es holomorfa en todas las regiones de $\mathbb{C}$