Encuentre el menor valor posible de $n$ tal que existe $P(x), Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$

Question

Encuentre el menor valor posible de $n, n \geq 2015$ tal que existe un polinomio $P(x)$ con grado $n$ , coeficientes enteros, el coeficiente del término $x^n$ es positivo y polinómico $Q(x)$ con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente ecuación para todo $x \in \mathbb{R}$ : $$x(P(x))^2 - 2P(x) = (x^3-x)(Q(x))^2$$

Fuente: Este problema es de mi competencia escolar. Intenté varios intentos en la sala de examen pero no parecieron funcionar. Hasta ahora he concluido $degQ=degP-1$ y los dos coeficientes principales de $P(x)$ y $Q(x)$ son iguales (suponiendo que el primer coeficiente de $Q(x)$ es positivo, de lo contrario podríamos considerar $-Q(x)$ en su lugar), y $x$ divide $P(x)$

Answer 1

Consideremos primero la ecuación $$(U(x))^2 - 1 = (x^2 - 1)(V(x))^2,\tag*{$ (1) $}$$ con $U$ , $V \in \mathbb{R}[x]$ con los coeficientes más altos de $U(x)$ , $V(x)$ ambas positivas.

Lema 1. $(1)$ tiene como máximo una solución por grado de $P(x) \ge 1$ .

Prueba. Dejemos que $k$ sea el grado de $U(x)$ . Obtenemos $n > 0$ si no, tendríamos $V(x) = 0$ para todos $x$ cuyo mayor coeficiente no es positivo. $U(x)$ y $V(x)$ no tienen una raíz común. Tomando la derivada, obtenemos entonces que $V(x)$ divide $U'(x)$ y así, ya que tienen los mismos grados, $V(x) = \alpha U'(x)$ . La ecuación es entonces $$(U(x))^2 - 1 = \alpha^2(x^2 - 1)(U'(x))^2.$$ Tomando la derivada, obtenemos $$U(x) = \alpha^2(xU'(x) + (x^2 - 1)U^{\prime\prime}(x)).$$ Observando la identificación de los coeficientes, obtenemos que $\alpha^2 = 1/k^2$ y que todos los coeficientes están totalmente definidos cuando $a_n$ es elegido. A continuación, se conecta $x = 1$ en la ecuación original, obtenemos $U(1)^2 = 1$ y así $a_k$ está determinada y, por tanto, a lo sumo una solución por grado. $$\tag*{$ \N - Cuadrado $}$$

Lema 2. $(1)$ tiene exactamente una solución por grado de $U(x) \ge 1$ .

Prueba. Dejemos que $U_k(x)$ sea el polinomio único definido como $\cos kx = U_k(\cos x)$ . Dejemos que $V_k(x)$ sea el único polinomio definido como $\sin kx = (\sin x)V_k(\cos x)$ . El grado de $U_k(x)$ es $k$ mientras que el grado de $V_k(x)$ es $k - 1$ . El mayor coeficiente de $U_k(x)$ es mayor que $0$ . Tenemos $$(U_k(\cos x))^2 - 1 = \cos^2 kx - 1 = -\sin^2 kx = -(\sin^2x) (V_k(\cos x))^2 = (\cos^2x - 1)(V_k(\cos(x))^2.$$ Y así $$(U_k(x))^2 - 1 = (x^2 - 1)(V_k(x))^2.$$ Y así, por grado $k \ge 1$ la única solución para $(1)$ es $(U_k(x), \pm V_k(x))$ donde el $\pm$ depende del signo del coeficiente de mayor grado en $V_k(x)$ . $$\tag*{$ \N - Cuadrado $}$$ Volvemos a la ecuación original. La ecuación puede escribirse como $$(xP(x) - 1)^2 - 1 = (x^2 - 1)(xQ(x))^2.$$ Y así $xP(x) - 1 = U_k(x)$ ya que los coeficientes más altos son positivos, y $xQ(x) = \pm V_k(x)$ .

• Si $n \equiv 1 \text{ mod }2$ : $U_k(0) = U_k(\cos \pi/2) = \cos k\pi/2 = 0$ y, por lo tanto, no es adecuado $P(x)$ .
• Si $n \equiv 0 \text{ mod }4$ : $U_k(0) = U_k(\cos \pi/2) = \cos k\pi/2 = 1$ y, por lo tanto, no es adecuado $P(x)$ .
• Si $n \equiv 2 \text{ mod }4$ : $U_k(0) = U_k(\cos \pi/2) = \cos k\pi/2 = -1$ y uno adecuado $P(x) = (U_k(x) + 1)/x$ .

Y así, las soluciones sólo existen cuando el grado de $P(x)$ es de la forma $4n + 1$ . Por lo tanto, la respuesta es $n = 2017$ .