Pregunta sobre "Medida y Cardinalidad" - Briggs ans Schaffter -

Question

Hay una parte de una prueba en el artículo "Measure and Cardinality" de Briggs y Schaffter que no entiendo.

Teorema : Si $E$ es un conjunto medible de reales de cardinalidad inferior a $c$ entonces $E$ tiene medida 0.

Prueba : Demostramos que si $E$ tiene medida positiva entonces la cardinalidad de $E$ es $c$ . Por lo tanto, supongamos que $mE > 0$ y que $F$ sea un subconjunto cerrado de $E$ de medida positiva. Entonces hay dos intervalos cerrados y disjuntos $I_0, I_1$ de longitud menor que mF que intersecan a F en conjuntos de medida positiva... (Me parece bien el resto de la prueba).

Intuitivamente, tiene sentido que esos intervalos $I_0, I_1$ existe. Estoy bastante seguro de que no es algo sofisticado, pero no estoy lo suficientemente familiarizado con la teoría de la medida para ver por qué existen necesariamente.

Answer 1

Una forma de ver esto es alicatar $\Bbb R$ con los intervalos cerrados $C_j:=[jmF/2, (j+1)mF/2]$ , $j\in\Bbb Z$ . Desde $$ F=\bigcup_j F\cap C_j \text{ and, for all } j,\ m(F\cap C_j)\le mF/2, $$ debe haber dos intervalos distintos $C_j$ y $C_k$ ( $j<k$ ) tal que $m(F\cap C_j)$ y $m(F\cap C_k)$ son positivos. Entonces, si estos intervalos son adyacentes, baja el punto final superior de $C_j$ por cualquier cantidad inferior a $ m(F\cap C_j)$ .

Answer 2

Desde $\bigcup_n[-n,n]=\mathbb{R}$ la intersección de $F$ y un intervalo cerrado y acotado debe tener medida positiva. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $E$ es el subconjunto de un intervalo acotado $[a,b]$ .

Toma los intervalos $[a,a+(b-a)/3]$ , $[a+(b-a)/3,a+2(b-a)/3]$ y $[a+2(b-a)/3,b]$ . Si el primero y el último se cruzan $F$ en un conjunto de medida positiva, hemos terminado. Si no, tenemos dos intervalos adyacentes cuya unión es un intervalo cerrado de longitud $2/3(b-a)$ que contiene todos los $F$ excepto un conjunto nulo. Podemos volver a dividir este intervalo y proceder de la misma manera. Finalmente, el proceso debe detenerse con dos subintervalos no adyacentes que se cruzan $F$ en un conjunto de medida positiva. Si no, tenemos $\mu(F)<(2/3)^n (b-a)$ para todos $n$ que se contradice con $\mu(F)>0$ .

Si uno de los subintervalos resultantes tiene una longitud $\mu(F)$ podemos aplicar el mismo método para encontrar subintervalos más pequeños que intersecan $F$ en un conjunto de medida positiva.