Función continua en un espacio métrico compacto sin punto fijo

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico compacto, y supongamos que $f:X \to X$ es un mapa continuo sin punto fijo. Demuestre que existe un $\epsilon > 0$ para que $d(f(x),x) \ge \epsilon \ \forall x \in X$ .

Consideré una función $g:X \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = d(f(x),x)$ para que haya un punto fijo sólo cuando $g(x)=0$ . ¿Hay alguna forma de proceder con esta función?

Answer 1

La función $g : X \to \mathbb{R}$ definido $g(x) = d(f(x),x)$ es continua porque es una composición de funciones continuas. Para cada $\epsilon > 0$ dejar $I_{\varepsilon} = \{r\in \mathbb{R} \mid r > \varepsilon\}$ que es un conjunto abierto en $\mathbb{R}$ . Entonces $g^{-1}(I_{\varepsilon})$ está abierto en $X$ y la familia de conjuntos $\{g^{-1}(I_{\varepsilon}) \mid \varepsilon > 0 \}$ cubre $X$ porque $X$ no tiene punto fijo. Como $X$ es compacto, cualquier cubierta abierta de él tendrá una subcubierta finita: $X = \bigcup_{i=1}^{n} g^{-1}(I_{\varepsilon_i})$ . Sea $\varepsilon_{min} = \min\{\varepsilon_i,\dots,\varepsilon_n\}$ . Entonces, para cada $x\in X$ tenemos $x \in g^{-1}(I_{\varepsilon_i})$ para algunos $i$ Por lo tanto $d(f(x),x) = g(x) \in I_{\varepsilon_i}$ Así que $d(f(x),x) > \varepsilon_i \geq \varepsilon_{min}$ y hemos terminado.

Answer 2

Para los espacios métricos, la compacidad y la compacidad secuencial son lo mismo. Supongamos que $\forall \epsilon > 0$ , $\exists x \in X$ tal que $d(f(x),x)< \epsilon$ . Entonces obtenemos una secuencia $x_i$ de puntos tales que $d(f(x_i),x_i)$ converge a 0. La compacidad secuencial nos da el punto límite deseado $x^*$ que es un punto fijo. Esto es una contradicción.