Resuelve la integral: $\int \frac{x dx}{{\ln}x+x}$ .

Question

No consigo resolver esta integral ni encontrar una solución en Internet; ¿se puede resolver esta integral? Si no lo es, ¿hay alguna manera de demostrar que no se puede resolver?

Answer 1

Con el mismo espíritu que @Tob Ernack, dejemos que $x=e^t$ para hacer $$\int\frac{x}{x + \ln x}\,dx=\int\frac{e^t}{1 + t e^{-t}}\,dt=\int \sum_{n=0}^\infty(-1)^n t^n \, e^{-(n-1)t}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\int t^n \, e^{-(n-1)t}\,dt$$ $$I_n=\int t^n \, e^{-(n-1)t}\,dt=-(n-1)^{-(n+1)}\, \Gamma (n+1,(n-1) t)$$ que es lo que escribió @Tob Ernack.

Otra expresión podría ser $$I_n=\int t^n \, e^{-(n-1)t}\,dt=-t^{n+1}\, E_{-n}((n-1) t)$$ donde aparece la función integral exponencial.