Dejemos que $(\Omega,\Sigma)$ sea un espacio medible. Un átomo de $\Sigma$ es un conjunto $B\in\Sigma$ tal que para todo $A\subseteq B$ o bien $A=\emptyset$ o $B=A$ . Un espacio medible es atómica si cada elemento se encuentra en algún átomo. El $\sigma$ -Álgebra $\Sigma$ es generados de forma contable si existe una familia contable de conjuntos medibles tal que $\Sigma$ es el más pequeño $\sigma$ -que los contiene a todos. Por ejemplo $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ es generada contablemente ya que $\mathcal{B}$ está generada por los intervalos abiertos con puntos finales racionales. Los átomos de $\mathcal{B}$ son los monotonales.
Propuesta: Si $\Sigma$ es generada contablemente, entonces $(X,\Sigma)$ es atómico.
Prueba: Si existe una familia contable que genera $\Sigma$ también existe una familia contable cerrada bajo complementación que genera $\Sigma$ . Si $\mathcal{C}$ es una familia de este tipo, obtenemos todos los átomos de $\Sigma$ como la intersección de todos los elementos de $\mathcal{C}$ que contienen un punto determinado.
Ahora bien, si $(\Omega,\Sigma,\mu)$ es un espacio de probabilidad, llamamos $B\in\Sigma$ a $\mu$ -atom si $\mu(B)>0$ y para todos $A\in\Sigma$ tal que $A\subseteq B$ , ya sea $\mu(A)=0$ o $\mu(A)=\mu(B)$ . El espacio de probabilidad es sin átomos si no contiene $\mu$ - de átomos.
Lema: Si $(\Omega,\Sigma,\mu)$ es un espacio de probabilidad tal que $\Sigma$ está generada contablemente y $\mu$ sólo toma los valores $0$ y $1$ entonces existe un átomo $A\in\Sigma$ tal que $\mu(A)=1$ .
Prueba: Sea $\mathcal{C}$ sea una familia contable cerrada bajo complementación que genera $\Sigma$ . Para cada elemento de $\mathcal{C}$ , ya sea él mismo o su complemento tiene probabilidad uno $1$ . La intersección de todos los elementos de $\Sigma$ con probabilidad $1$ es un átomo con probabilidad $1$ .
Propuesta: Si $(\Omega,\Sigma,\mu)$ es un espacio de probabilidad con $\Sigma$ generada contablemente, entonces no tiene átomos si y sólo si cada átomo de $\Sigma$ tiene probabilidad $0$ .
Prueba: Claramente, en un espacio de probabilidad sin átomos, cada átomo debe tener probabilidad $0$ . Supongamos ahora que $A$ es un $\mu$ -Atómica. Sea $A\cap\Sigma=\{A\cap S:S\in\Sigma\}$ sea la traza $\sigma$ -Álgebra. También está generada contablemente. Entonces $(A,A\cap\Sigma,1/\mu(A)\cdot\mu)$ es un espacio de probabilidad tal que la probabilidad toma sólo los valores $0$ y $1$ . Entonces, por el lema, hay un átomo $B$ tal que $1/\mu(A)\mu(B)=1$ . Pero $B$ también es un átomo de $\Sigma$ y $\mu(B)>0$ .
Por tanto, se deduce que una medida de probabilidad sobre $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ es sin átomos si y sólo si pone la probabilidad $0$ en todos los singletons, lo que justifica la definición del libro de Kai Lai Chung.
Por último, un ejemplo de un espacio de probabilidad en el que cada átomo tiene probabilidad $0$ pero de tal manera que el espacio no sea sin átomos. Sea $\Omega$ sea cualquier conjunto incontable, sea $\Sigma$ consiste en aquellos subconjuntos de $\Omega$ que son contables o tienen un complemento incontable. Sea $\mu(A)=0$ si $A$ es contable y $\mu(A)=1$ si su complemento es contable. Todo conjunto con complemento contable es un $\mu$ -pero los átomos de $\Sigma$ son los singletons que tienen todos probabilidad $0$ . Tenga en cuenta que $\Sigma$ no es generada contablemente.
