Un triángulo tiene la máxima área posible en la parábola $y = x^2$

Question

Puntos dados $P(1, 1)$ y $Q(2, 4)$ en la parábola $y = x^2$ ¿Dónde debería estar el punto $R$ esté en la parábola (entre P y Q) para que el triángulo $PQR$ tiene la máxima superficie posible?

¿Cómo debo hacer esta pregunta?

Answer 1

$Area = Base \times Height /2$
Para maximizar la altura, la tangente en $R$ es paralelo a la base $PQ$ .

Answer 2

¿Sabes cómo se calcula el área de un triángulo con las coordenadas de los vértices?

Claramente $R$ tiene coordenadas $(x,x^2)$ . Hay que encontrar el máximo de la siguiente función $$f(x)=\left(% \begin{array}{cc} 2+1 & 4-1 \\ 2-x & 4-x^2 \\ \end{array}% \right) = 3(4-x^2)-3(2-x) = -3x^2+3x+6 $$ Así que $f$ lograr el máximo en $x=-{b\over 2a} = {1\over 2}$ Así que $R(1/2,1/4)$ .

Answer 3

Utilizaría la fórmula de Heron $$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ con $$PR=\sqrt{(x+1)^2+(x^2-1)^2}$$ $$QR=\sqrt{(2-x)^2+(4-x^2)^2}$$ $$PQ=\sqrt{3^2+3^2}$$

Answer 4

Dejemos que $R(x,x^2),$ donde $-1\leq x\leq2.$

Tenemos $$m_{PQ}=1,$$ que da la ecuación de $PQ:$ $$y-1=1(x+1)$$ o $$x-y+2=0.$$ Por lo tanto, la altitud del triángulo de $R$ es $$\frac{|x-x^2+2|}{\sqrt2}$$ y como $$PQ=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18},$$ por AM-GM obtenemos: $$S_{\Delta PQR}=\frac{\sqrt{18}\cdot\frac{|x-x^2+2|}{\sqrt2}}{2}=\frac{3}{2}\cdot(2-x)(x+1)\leq\frac{3}{2}\left(\frac{2-x+x+1}{2}\right)^2=\frac{27}{8}.$$ La igualdad se produce para $x+1=2-x$ , que dice que tenemos un valor máximo.

Answer 5

Primero se calcula $r$ la línea recta que pasa por $P$ y $Q$ . Se escribe la distancia entre el punto $R$ y la línea $r$ y finalmente se podría derivar este respeto a $x$ y encontrar el punto de su área máxima.

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-1}{2-(-1)}=1$$ $$y-y_P=m(x-x_P)\quad\rightarrow\quad y-1=x-(-1) \quad\rightarrow\quad y-x-2=0$$

$$d(R, r)=\frac{y-x-2}{\sqrt2}=\frac{x^2-x-2}{\sqrt2}$$

su derivada es igual a $2x-1$ por lo que tiene un cero en $x_R=\frac{1}{2}$ y ahora puedes calcular $y_R=x_R^2=\frac{1}{4}$ .