Imagen de $f(z)=\frac{z-3}{z-4}$ en $\{z\in\mathbb{C}|2<Re(z)<3\}$

Question

Dejemos que $D=\{z\in\mathbb{C}|2<Re(z)<3\}$ . Sea $f(z)=\frac{z-3}{z-4}$ . Encuentre $f(D)$ .

He pensado en utilizar la descomposición de las transformaciones de Mobius, es decir

$$f_1(w)=w-4,\ f_2(w)=1/w,\ f_3(w)=1+w$$

Entonces obtenemos

$$f(z)=\frac{z-3}{z-4}=\frac{z-4+1}{z-4}=1+\frac{1}{z-4}=f_3\Big(f_2\big(f_1(z)\big)\Big)$$

Así que $f(D)=f_3\Big(f_2\big(f_1(D)\big)\Big)$ y ahora podemos tratar cada transformación, es decir

$$D_1=f_1(D)=\{z-4\in\mathbb{C}|2<Re(z)<3\}=\{z\in\mathbb{C}|-2<Re(z)<-1\}$$

Y $f_3$ es similar a $f_1$ . El problema es que no entiendo lo que la inversión $f_2$ lo hará en $D_1$ .

Answer 1

Escribe $$w=\frac{z-3}{z-4}\implies z=\frac{4w-3}{w-1}$$

Ahora pon $w=u+iv$ y simplificar, por lo que se obtiene $$z=\frac{4u^2+4v^2-7u+3-iv}{(u-1)^2+v^2}$$

La región en cuestión, $2<Re(z)<3$ se convierte en $$2<\frac{4u^2+4v^2-7u+3}{(u-1)^2+v^2}<3$$

El LHS se simplifica para convertirse en $$(u-\frac 34)^2+v^2>\frac 74$$ La RHS se simplifica para convertirse en $$(u-\frac 12)^2+v^2<\frac 14$$