De la desigualdad. $a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c$

Question

Deje $a,b,c$ ser números reales positivos tales que $abc=1$. Demostrar que

$a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c$.

Gracias

Answer 1

El uso de Cauchy-Schwarz desigualdad obtenemos $$ a+b+c=a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 1+\leq\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{1^2+1^2+1^2}\la etiqueta{1} $$ De AM-GM obtenemos $a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$, por lo que $$ \sqrt{3}\leq\sqrt{a^2+b^2+c^2}\etiqueta{2} $$ De $(1)$ $(2)$ es de la siguiente manera $$ a+b+c\leq\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{3}\leq\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2 $$

Answer 2

Vamos a resolverlo de un modo elemental y empezar desde el hecho de que: $$a^2 \ge 2a -1 \tag1$$ $$b^2 \ge 2b-1 \tag2$$ $$c^2 \ge 2c-1 \tag3$$

Luego sume $(1)$ $(2)$ $(3)$ y obtenemos: $$a^2+b^2+c^2 \ge a+b+c +a+b+c -3 \tag4$$ Por AM-GM hemos $$\frac{a+b+c}{3} \ge (abc)^\frac{1}{3}=1 $$ $$ a+b+c \ge 3 \tag5 $$ Finalmente, a partir de $(4)$ $(5)$ podemos obtener la necesaria desigualdad: $$a^2+b^2+c^2 \ge a+b+c +a+b+c -3 \ge a+b+c $$

Q. E. D.

Answer 3

Como A. M. de cualquier número positivo ≥ G. M,

$\frac{a+b+c}{3}≥ (abc)^{\frac{1}{3}}$

Ahora, $ 3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2= (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥ 0$

=>$ a^2+b^2+c^2≥ \frac{(a+b+c)^2}{3}$

= > $ a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)(\frac{a+b+c}{3})≥a+b+c$ $\frac{a+b+c}{3}≥1$

Answer 4

Vamos a utilizar el siguiente formulario de Cauchy-Schwarz desigualdad:

De Cauchy-Schwarz desigualdad aplicado sobre los vectores $\displaystyle{ \left( \frac{x_1}{\sqrt{a_1}} , \frac{x_2}{\sqrt{a_2}} , \cdots , \frac{x_n}{\sqrt{a_n}} \right)}$ $ \displaystyle{ \left( \sqrt{a_1} ,\sqrt{a_2} , \cdots , \sqrt{a_n} \right) }$ donde $ x_1 ,x_2 \cdots ,x_n \in \mathbb R $ $ a_1, a_2, \cdots ,a_n >0 $ obtenemos que

$ \displaystyle{ \frac{x_1^{2}}{a_1} +\frac{x_2^{2}}{a_2} + \cdots + \frac{x_n^{2}}{a_n} \geq \frac{\left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)^{2}}{a_1 +a_2 + \cdots + a_n} }$

De vuelta a nuestro problema ahora, dada la desigualdad puede ser escrito equivelant en el formulario

$ \displaystyle{ \frac{a^2}{abc} + \frac{b^2}{abc} +\frac{c^2}{abc} \geq a+ b+c \quad (\star)}$

Utilizando ahora la desigualdad establecimos en la mendicidad, observamos que el lado izquierdo de $(\star)$ es :

$ \displaystyle{ \frac{a^2}{abc} + \frac{b^2}{abc} +\frac{c^2}{abc} \geq \frac{ \left(a+b+c \right)^2}{3abc} = \frac{ \left(a+b+c \right)^2}{3} \geq \left(a+b+c \right) \cdot \frac{ 3 \sqrt[3]{abc}}{3} = a+b+c }$

que es lo que tenemos que demostrar. Q. E. D

P. S. yo el último paso utilizamos el AM-GM de la desigualdad: $ \displaystyle{ a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} }$.

P. S La forma anterior de Cauchy-Schwarz desigualdad se llama de Cauchy-Schwarz en Engel forma.

Answer 5

Para obtener una prueba geométrica:

Deje $C$ ser un paralelepípedo cuyas aristas son $a$, $b$ y $c$. Si $\text{diam}(C)=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ es fijo, a continuación, $a+b+c$ es en la mayoría de las $\sqrt{3}\text{diam}(C)$. Por lo $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$.

Entonces, si $\text{diam}(C)$ es fijo, $\text{Vol}(C)=abc$ es en la mayoría de las $\displaystyle \left( \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \right)^{3/2}$ (a maximizar el volumen de un rectángulo inscrito en una esfera de radio $\sqrt{a^2+b^2+c^2}/2$). Por lo $a^2+b^2+c^2 \geq 3$.

Finalmente, $a+b+c \leq a^2+b^2+c^2$.