Método de las series de Taylor para las ecuaciones diferenciales

Question

Hola Chicos dada la siguiente pregunta

$$y'(x) = \ln(x+y), x_0 = 1, y_0=1$$

Por lo tanto, utilizando el método de la serie de Taylor

$$y = y_0 + (x-x_0)y'_0+\frac{(x^2-2x+1)(y''_0)}{2}+\frac{x^3-3x^2+3x-1}{6}(y'''_0)$$

Por lo tanto,

$$y'(x) = \ln(x+y) = \ln x+\ln y$$

$$y''(x) = \frac{d}{dx}ln(x+y)$$

$$\frac{df}{dx} = y = ln(u), u = x+y$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y}$$

$$\frac{df}{dy} = \frac{y'}{x+y}$$

de ahí que obtengamos lo siguiente

$$y''(x) = \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}y'$$

$$y''(x) = \frac{1+y'}{x+y}$$

$$y'''(x)= \frac{1+y'}{x+y}$$

$$let u = 1+y', v = x+y$$

$$\frac{du}{dx} = y'', \frac{dv}{dx} = 1+y'$$

Colocación en la fórmula

$$\frac{y''(x+y)-(1+y')(1+y')}{(x+y)^2}$$

Answer 1

$$y'(x) = \ln(x+y), x_0 = 1, y_0=1$$ La segunda derivada de y es: $$y''=\dfrac {1+y'}{x+y}$$ $$y''=\dfrac {1+\ln |x+y|}{x+y}$$ No puedes escribir: $$\ln (x+y)=\ln (x)+\ln(y)$$ No confundir con: $$\ln (xy)=\ln (x)+\ln(y)$$

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Necesitas diferenciar una función logarítmica así: $$(\ln (x+y))'=\frac 1{x+y}(x+y)'$$ Y $(x+y)'=1+y'$ . O para cualquier función $f(x)$ : $$(\ln (f(x)))'=\frac 1{f(x)}(f(x))'$$

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Si prefieres la sustitución y la regla de la cadena : $u=x+y$ tienes..: $$y'= \ln u $$ $$y''=\dfrac {d \ln u}{du}\dfrac {du}{dx}=\frac 1 u u'$$ y $u'=1+y'$ $$y''=\dfrac {1+y'}{x+y}$$ $$y''=\dfrac {1+\ln (x+y)}{x+y}$$ Utiliza la regla del cociente para la tercera derivada: $$y^{(3)}=-\dfrac {y'(1+y')}{(x+y)^2}$$ $$y^{(3)}=-\dfrac {(1+\ln (x+y))\ln (x+y)}{(x+y)^2}$$