¿Por dónde empiezo con esto? Esta pregunta es realmente muy difícil..
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Noldorin
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Dejemos que $I=(u,v)$ .
(i) : Una solución sobre $I$ viene dada por
$$f(x)=\exp\left(-\int_{x_0}^x a(t) dt\right)\tag{2}$$
donde $x_0\in I$ es arbitraria. De hecho, $f^\prime(x)=-a(x) \exp\left(-\int_{x_0}^x a(t) dt\right) = -a(x) f(x)$ . También, $f$ no tiene ceros.
(ii) :
Dejemos que $\tilde{f}$ sea cualquier otra solución. Definamos $g(x)=\frac{\tilde{f}(x)}{f(x)}$ . También $g$ es diferenciable en $I$ con la derivada
$$g^\prime(x) = \frac{1}{f(x)^2} (\tilde{f}^\prime(x) f(x) - \tilde{f}(x) f^\prime(x))=\frac{1}{f(x)^2}(-a(x)\tilde{f}(x)f(x)+a(x)\tilde{f}(x)f(x))=0$$
Por lo tanto, $g$ es una función constante. Es decir, existe $c\in\mathbb{C}$ tal que
$$\tilde{f}=c\cdot f$$
(iii) : Definir
$$f(x)=y_0 \exp\left(-\int_{x_0}^x a(t) dt\right)$$
$f$ resuelve la ecuación $(1)$ y $f(x_0)=y_0$ .
(iv) : Por (ii), el conjunto de soluciones de $(1)$ viene dada por
$$U=\left\{c\cdot f \,\,|\,\,c\in\mathbb{C}\right\}$$
donde $f$ es como en $(2)$ . Desde $f\in C^1(I,\mathbb{C})$ , $U\subset C^1(I,\mathbb{C})$ y si $g=c_1\cdot f,h=c_2\cdot f\in U$ , $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$ entonces también
$$\lambda g+\mu h=(\lambda c_1+\mu c_2) f\in U$$
Así que $U$ es un subespacio de vectores. Tiene dimensión uno, porque $\{f\}$ es una base.
Información adicional:
La forma "esquemática" de llegar a la solución en $(2)$ es la siguiente: reescribir la ecuación como
$$\frac{y^\prime}{y} = -a$$
Ahora integra
$$\int\frac{y^\prime}{y} = -\int a$$
Esto da
$$\log y = -\int a + \mathrm{const}$$
Así que
$$y(x)=c\cdot\exp\left(-\int_{x_0}^x a(t) dt\right)$$
Este método se llama separación de variables y puede aplicarse siempre que su EDO sea de la forma
$$y^\prime = F(x)G(y)$$
La ecuación de interés es
$f'(x) + a(x)f(x) = 0; \tag{0}$
que tenemos:
(i.) establecer
$f(x) = e^{-\int_{x_0}^x a(s) ds}; \tag{1}$
entonces, ya que $\int_{x_0}^x a(s) ds$ es continuamente diferenciable en virtud de la hipótesis de que $a(x)$ es continua,
$f'(x) = -a(x)e^{-\int_{x_0}^x a(s) ds} = -a(x)f(x), \tag{3}$
o
$f'(x) + a(x)f(x) = 0, \tag{4}$
demostrando que $f(x)$ satisface (0). $f(x)$ es continuamente diferenciable en $I$ desde $\int_{x_0}^x a(s) ds$ es, y $f(x)$ no desaparece en ninguna parte ya que $0$ no está en el rango de $e^z$ , $z \in \Bbb C$ ;
(ii.) si $\tilde f(x)$ también resuelve (4) en $I$ Considera que $f^{-1} \tilde f(x)$ tenemos
$(f^{-1} \tilde f)' = -f^{-2}f' \tilde f + f^{-1} \tilde f' = -f^{-2}(-af) \tilde f + f^{-1} (-a \tilde f) = af^{-1} \tilde f - a f^{-1} \tilde f = 0, \tag{5}$
que muestra que $f^{-1} \tilde f$ es una constante $c \in \Bbb C$ en $I$ . Por lo tanto, tenemos
$\tilde f(x) = cf(x); \tag{6}$
(iii.) para $y_0 \in \Bbb C$ Considera que $f(x) = y_0 e^{-\int_{x_0}^x a(s) ds}$ Es fácil ver, por diferenciación directa, que esta $f(x)$ satisface (0) y también tenemos
$f(x_0) = y_0e^{-\int_{x_0}^{x_0} a(s) ds} = y_0 e^0 = y_0 (1) = y_0; \tag{7}$
la singularidad de $f(x) = y_0e^{-\int_{x_0}^x a(s) ds}$ se deduce de (ii.), ya que cualquier solución $\tilde f(x)$ es de la forma $ce^{-\int_{x_0}^x a(s) ds}$ ; equiparando $f(x_0)$ con $\tilde f(x_0)$ produce $c = y_0$ , mostrando la unicidad de $f(x)$ .
(iv.) ya que toda solución es de la forma $c e^{-\int_{x_0}^x a(s) ds}$ para algunos $c \in \Bbb C$ vemos que las soluciones forman un subespacio de $C^1(I, \Bbb C)$ ya que, denotando $e^{\int_{x_0}^x a(s)ds}$ por $E(x)$ , $c_1 E(x) + c_2 E(x) = (c_1 + c_2) E(x)$ y $c_1(c_2 E(x)) = (c_1 c_2) E(x)$ para todos $c_1, c_2 \in \Bbb C$ . Vemos que los axiomas del espacio vectorial son satisfechos por el conjunto $\{ ce^{\int_{x_0}^x a(s) ds}, c \in \Bbb C \} \subset C^1(I, \Bbb C)$ . Además, $\{ E(x) \}$ es claramente una base de este subespacio, lo que implica que es de dimensión uno. QED.
Llámalo un envoltorio, ¡está en la lata!
Espero que esto ayude. Adiós,
y como siempre,
¡¡Fiat Lux!!
