integraciones por partes.

Question

Mostrar $\int_0^\infty 2y^2e^{-y^2} dy = .886$

$2\int_0^\infty y^2e^{-y^2} dy$

Entonces, por partes;

$f=y^2$ $dg=e^{-y^2}$

$df=2y$ $g=-2ye^{-y^2}$

$2\int_0^\infty y^2e^{-y^2} dy$ = $-2y^3e^{-y^2} -\int_0^\infty -4y^2e^{-y^2}$ = $-2y^3e^{-y^2} +4\int_0^\infty y^2e^{-y^2}$

de manera equivalente; $-2\int_0^\infty y^2e^{-y^2} dy = -2y^3e^{-y^2}$

o $2\int_0^\infty y^2e^{-y^2} dy = 2y^3e^{-y^2}$

$\left(2(\infty)^3e^{-\infty^2}\right)$ - $\left(2(0)^3e^{-0^2}\right)=0-0=0$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

$$\int y^2e^{-y^2}dy=\int \underbrace{y}_{=u}\cdot\underbrace{ ye^{-y^2}}_{=v'}dy=[-\frac{1}{2}ye^{-y^2}]+\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-y^2}dy$$

La integral $\int_0^\infty e^{-y^2}dy$ no es tan evidente. Si usted establece $I=\int_0^\infty e^{-y^2}dy$ se puede calcular $I^2$ utilizando coordenadas polares. También puedes saber que $$\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$$ o hacer la sustitución $u=y^2$ para conseguir $$\int_0^\infty e^{-y^2}dy=\int_0^\infty e^{-y^2}dy=\frac{1}{2}\int_0^\infty u^{\frac{1}{2}-1}e^{-u}du=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$