¿Por qué$\mathbb{Z}[\sqrt{-n}], n\ge 3$ no es un UFD?

Question

Estoy considerando el anillo$\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$, donde$n\ge 3$ y cuadrado libre. Quiero ver por qué no es un UFD.

Definí una norma para el anillo por$|a+b\sqrt{-n}|=a^2+nb^2$. Usando esto pude demostrar que$2$,$\sqrt{-n}$ y$1+\sqrt{-n}$ son irreductibles. ¿Hay alguna forma de concluir que$\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ no es un UFD basado en esto? Gracias.

Answer 1

Si$n$ es par, entonces$2$ divide$\sqrt{-n}^2=-n$ pero no divide$\sqrt{-n}$, por lo que$2$ es irreducible. En un UFD, todos los irreducibles son primos, por lo que esto muestra que$\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ no es un UFD.

De manera similar, si$n$ es impar, entonces$2$ divide$(1+\sqrt{-n})(1-\sqrt{-n})=1+n$ sin dividir ninguno de los factores, por lo que nuevamente$2$ es irreducible.

Este argumento funciona igualmente bien para$n=3$, pero falla para$n=1,2$ y, de hecho,$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ y$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ son UFD.