Es el Torelli mapa de una inmersión?

Question

El Torelli mapa de $\tau\colon M_g \to A_g$ envía una curva C para su Jacobiano (junto con la canónica principal de la polarización asociadas a C); véase esta cuestión para una descripción que trabaja para las familias.

Teorema (Torelli): Si $\tau(C) \cong \tau(C')$,$C \cong C'$.

Si uno prefiere trabajar con el grueso de los espacios (en lugar de las pilas) está bien acaba de decir que $\tau$ es inyectiva.

Pregunta: Es $\tau$ una inmersión?

(Una observación: $\tau$ no es un cerrado de inmersión -- el cierre de su imagen se compone de productos de Jacobians!)

Answer 1

Respetuosamente, no estoy de acuerdo con Tony respuesta. El infinitesimal Torelli problema de falla por $g>2$ en los puntos de $M_g$ correspondiente a la hyperelliptic curvas. Y, en general, la situación es más complicada de lo que uno esperaría.

El espacio de la tangente a la deformación del espacio de una curva de $C$$H^1(T_C)$, y el espacio de la tangente a la deformación del espacio de su Jacobiano es $Sym^2(H^1(\mathcal O_C))$. El infinitesimal Torelli mapa es una inmersión en el fib el mapa de estos espacios tangente

$$ H^1(T_C) \to Sym^2( H^1(\mathcal O_C) )$$

es una inyección. Doblemente, el siguiente mapa debe ser un surjection:

$$ Sym^2 ( H^0(K_C) ) \to H^0( 2K_C ), $$

donde $K_C$ denota canónica de la clase de la curva de $C$. Este es un surjection iff $g=1,2$ o $g=3$ $C$ no es hyperelliptic; por un resultado de Max Noether.

Por lo tanto, para $g\ge 3$ el Torelli mapa DE PILAS $\tau:M_g\to A_g$ no es una inmersión. Es una inmersión fuera de la hyperelliptic locus $H_g$. Además, la restricción $\tau_{H_g}:H_g\to A_g$ es una inmersión.

Por otro lado, la Torelli mapa entre el grueso de los módulos de los espacios ES una inmersión en char 0. Este es un resultado de Oort y Steenbrink "El local Torelli problema para curvas algebraicas" (1979).

F. Catanese dio una buena visión general de los diferentes sabores de Torelli mapas (infinitesimal, local, global, genérica) en "Infinitesimal Torelli problemas y contraejemplos para Torelli problemas" (capítulo 8 en "Temas trascendentales de la geometría algebraica" editado por Griffiths).

P. S. las "Pilas" puede ser reemplazado por todas partes por los "módulos de espacios con estructura de nivel de nivel de $l\ge3$ (que están muy bien los módulos de espacios).

P. P. S. El espacio de la de primer orden de las deformaciones de un abelian variedad $A$$H^1(T_A)$. Desde $T_A$ es un trivial vector paquete de rango $g$, y la cotangente del espacio en el origen es $H^0(\Omega^1_A)$, este espacio es igual a $H^1(\mathcal O_A) \otimes H^0(\Omega^1_A)^{\vee}$ e tiene dimensión $g^2$.

Una polarización es un homomorphism $\lambda:A\to A^t$ $A$ a la doble abelian variedad $A^t$. Se induce un isomorfismo (char en 0, o para un director de polarización) desde el espacio de la tangente en el origen a $T_{A,0}=H^0(\Omega_A^1)^{\vee}$ a el espacio de la tangente en el origen a $T_{A^t,0}=H^1(\mathcal O_A)$. Esto le da un isomorfismo $$ H^1(\mathcal O_A) \otimes H^0(\Omega^1_A)^{\vee} \ H^1(\mathcal O_A) \otimes H^1(\mathcal O_A). $$

El subespacio de primer orden deformaciones que preservar la polarización $\lambda$ pueden ser identificados con los tensores de la asignación a cero en $\wedge^2 H^1(\mathcal O_A)$, y así es isomorfo a $Sym^2 H^1(\mathcal O_A)$, fuera de la característica 2.

Answer 2

Sí, el Torelli mapa es una inmersión, al menos más de $\mathbb{C}$. El Torelli teorema dice que el mapa separa puntos (en el nivel de pila también se dice que el mapa es representable) y el infinitesimal Torelli teorema dice que el mapa seprates tangente direcciones. Más de $\mathbb{C}$ el infinitesimal Torelli teorema de la siguiente manera fácil de Griffiths' infinitesimal período de relaciones.