Una forma cerrada conjetural para $\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n!\,(2n)!}{(3n+2)!}$

Question

Sea $$S=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n!\,(2n)!}{(3n+2)!},\tag1$$ su valor numérico es aproximadamente $S \approx 0.517977853388534047...$${}^{[más\ dígitos]}$

$S$ puede ser representado en términos de la función hipergeométrica generalizada: $$S={_3F_2}\left(\frac12,1,1;\ \frac43,\frac53;\ \frac4{27}\right)\cdot\frac12.\tag2$$

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Sea $\sigma$ la expresión en forma cerrada construida a partir de enteros y funciones elementales de la siguiente manera: $$\sigma=3\,\alpha\,\ln(2\,\alpha+1)-\sqrt{\beta\,}\arccos\gamma,\tag3,$$ donde $$\alpha=\frac{\sqrt[3]{3\,}}{6\,\sqrt[3]{2\,}}\left(\sqrt[3]{9-\sqrt{69}}+\sqrt[3]{9+\sqrt{69}}\right),\tag4$$ $$\beta=\frac1{4\,\sqrt[3]{2\,}}\left(\sqrt[3]{25+3\,\sqrt{69}}+\sqrt[3]{25-3\,\sqrt{69}}\right)-\frac12,\tag5,$$ $$\gamma=\frac1{6\,\sqrt[3]{2\,}}\left(\sqrt[3]{57\,\sqrt{69}-459}-\sqrt[3]{57\,\sqrt{69}+459}\right)+\frac12\tag6$$ son las raíces reales únicas de las siguientes ecuaciones cúbicas: $$8\,\alpha^3-2\,\alpha-1=0,\tag7$$ $$64\,\beta^3+96\,\beta^2+36\,\beta-23=0,\tag8$$ $$8\,\gamma^3-12\,\gamma^2+16\,\gamma+11=0.\tag9$$ De manera equivalente, $$\sigma = \frac{3\,p}{2}\,\ln\big(p+1\big)-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3-p}{p}}\arccos\Big( \frac{p-6}{6p+2}\Big)\tag{10}$$ donde $p$ es la _constante plástica_ o la raíz real de $$p^3-p-1=0\tag{11}$$

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Se puede comprobar numéricamente que la siguiente desigualdad se cumple: $$\Big|S-\sigma\Big|<10^{-10^5},\tag{12}$$ Conjeturo que la diferencia real es exactamente cero, y por lo tanto $S$ tiene una forma cerrada elemental: $$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n!\,(2n)!}{(3n+2)!}\stackrel?=3\,\alpha\,\ln(2\,\alpha+1)-\sqrt{\beta\,}\arccos\gamma,\tag{13}$$ Pido tu ayuda para demostrar esta conjetura.

Answer 1

Mostramos que la suma es igual a $$ \int_0^1 \frac{2-3x}{1-x^2+x^3} dx. $$ Esta integral es "elemental", pero requiere expandir el integrando en fracciones parciales, lo que a su vez requiere todas las soluciones de el polinomio cúbico en el denominador; así que si uno insiste en escribir todo en radicales entonces la respuesta será complicada. La "conjetura" seguramente es correcta ($10^5$ dígitos es más que suficiente para certeza moral, especialmente ya que $\alpha,\beta,\gamma$ están todos en el campo generado por la raíz real de $1-x^2+x^3$), aunque puede ser un ejercicio desagradable y poco gratificante comprobar que la integración por fracciones parciales produce una respuesta equivalente. (También uno se pregunta cómo posiblemente podría "conjeturar" tal respuesta sin algún sentido de dónde buscar...)

La clave es escribir cada término $n! (2n)! / (3n+2)!$ en términos de la integral beta $a!b!/(a+b+1)! = B(a+1,b+1) = \int_0^1 x^a (1-x)^b dx$. Aquí escribimos $n! (2n)! / (3n+2)! = B(2n+1, n+2) / (n+1)$, y sumamos sobre $n$ para obtener $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{n! (2n)!} {(3n+2)!} = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2-x^3)^{n+1}}{n+1} \frac{dx}{x^2} = -\int_0^1 \log(1-x^2+x^3) \frac{dx}{x^2}. $$ (Justificamos fácilmente el intercambio de suma infinita e integral definida porque todos los integrandos son positivos en $0QED.

Answer 2

respuesta parcial

Utiliza el método de ENLACE

Dado que $$ \int_0^1 t^n (1-t)^{2n}\;dt = \frac{n!(2n)!}{(3n+1)!} , $$ Si escribimos $$ S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!(2n)!}{(3n+2)!}\;x^{3n+2} $$ entonces $$ S(x) = \int_0^1 \left(\sum_{n=0}^\infty t^n(1-t)^{2n} \frac{x^{3n+2}}{3n+2}\right)dt $$ y $S = S(1)$.
Pero la derivada con respecto a $x$ de $\sum_{n=0}^\infty t^n(1-t)^{2n} \frac{x^{3n+2}}{3n+2}$ es una serie geométrica. Su suma es una función racional, que puede integrarse (con algo de trabajo o un CAS). Sustituye $x=1$. Resultado (si lo copié correctamente):

$$ S = \int_0^1\frac{F(t)}{18(1-t)^{4/3}t^{2/3}}\;dt $$

donde

$$ F(t) = \pi \,\sqrt {3}-6\,\sqrt {3}\arctan \left( 2/\sqrt {3}\cdot \left( 1-t \right) ^{2/3}{t}^{1/3}+1/ \sqrt {3} \right) \\ -6\,\ln \left( ({1-t})^{1/3} {t}^{2/3} -\left( 1-t \right) t \right) +3\,\ln \left( t \left( 1-t \right) ^{2}+ \left( 1-t \right) ^{4/3}{t}^{2/3}+ \left( 1-t \right) ^{2/3}{t}^{1/3} \right) \\ +6\,\ln \left( ({1-t})^{1/3}{t}^{2/3} \right) -3\,\ln \left( \left( 1-t \right) ^{2/3}{t}^{1/3} \right) $$

Answer 3

Alternativamente, se puede encontrar una solución simple y elemental en logaritmos como, $$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n!\,(2n)!}{(3n+2)!}= -x_1\ln(1-x_1)-x_2\ln(1-x_2)-x_3\ln(1-x_3) = 0.5179778\dots$$ donde los $x_n$ son las tres raíces de $x^3-x+1=0$ y que es el polinomio mínimo de la constante plástica negada. Ver también esta publicación.