O más concretamente, ¿por qué la gente se entusiasma tanto con ellos? ¿Y cuál es tu ejemplo fácil favorito de uno, que ilustra por qué debería importarme (y no es un grupo)?
Respuestas
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MortenSickel
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Otra respuesta es que un grupoide es un espacio que no tiene grupos homotópicos de dimensión ≥ 2. (Análogamente, un conjunto es un espacio que no tiene grupos homotópicos de dimensión ≥ 1.) Surgen de tomar órbitas (homotópicas) de acciones de grupo sobre conjuntos, así como de categorías (descartando los morfismos no invertibles y tomando luego el nervio). La gente se preocupa por ellos porque retienen información homotópica útil, análoga a la relación entre Hom y Ext en álgebra homológica, y también porque son mucho más fáciles de trabajar que los espacios generales.
Bob
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34449
Cualquier haz vectorial es un groupoide: sólo se pueden sumar y restar vectores si están en la misma fibra. Análogamente, si tomamos un haz vectorial E → M (o algún otro haz de fibras) consideremos el haz de automorfismo Aut(E) → M donde un punto en Aut(E) sobre p ∈ M es un automorfismo de E p . Se trata de un grupoide, ya que estos automorfismos sólo pueden componerse si se encuentran en la misma fibra.
Se trata de discreto groupoides en el sentido de que no hay morfismos entre objetos distintos (aka puntos en el espacio base). Sin embargo, no son discretos topológicamente, ¡ya que claramente tienen topologías! (Lo cual, dicho sea de paso, demuestra que hay que tener cuidado al usar la afirmación de que los grupoides no tienen homotopía por encima de grado 2: se trata de una afirmación sobre los grupoides en Set, pero los grupoides existen enriquecidos en otras categorías donde pueden tener mucha homotopía interesante). Para obtener un groupoide más general, se puede considerar el haz Iso(E) → M × M donde un punto en Iso(E) sobre (p,q) ∈ M × M es un isomorfismo de E p a E q .
Una de las razones por las que me gustan los grupoides es que permiten hablar de cocientes por acciones de grupo sin tener que tomar realmente el cociente. Esto es útil porque algunas categorías no tienen cocientes, como la categoría de las variedades lisas. Cuando tenemos un grupo G actuando sobre una variedad M, podemos intentar tomar el cociente M/G, pero a menudo no es una variedad. En su lugar, podemos tomar el grupoide con objetos M y morfismos G × M, donde un morfismo (g,m) tiene origen m y destino gm. Incluso cuando el cociente existe, o cuando se ha extendido la categoría para incluir cocientes, esto puede comportarse mucho mejor que el cociente correspondiente.
grapefrukt
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16804
Más allá de todos los ejemplos categóricos y de haces que ya se han dado, se pueden entender fácilmente los groupoides como generalizaciones de los grupos en un sentido puramente geométrico.
Si se piensa en los grupos como conjuntos de simetrías de ciertos objetos geométricos, entonces los groupoides son local simetrías de los objetos geométricos. Mi ejemplo favorito de esto consiste en tomar una variedad M y definir un agrupoide G como el conjunto de todos los difeomorfismos locales f:U-->V donde U y V son conjuntos abiertos de M, con multiplicación dada por composición de mapas (siempre que tenga sentido).
Matt Miller
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1829
Además de las respuestas ya dadas: Alan Weinstein escribió un bonito artículo para los Avisos de la AMS que intenta dar algunos ejemplos motivadores:
Parece que en ciertas situaciones en las que tomar el cociente por una acción de grupo "destruye demasiada información", trabajar directamente con un groupoide asociado es más útil. Varios de los ejemplos motivadores en NCG a la Connes (et al) también parecen encajar en este punto de vista.
kevtrout
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Discrepo (ligeramente) de la afirmación de David Brown de que un conjunto es un ejemplo de un groupoide. Dado cualquier conjunto, se le puede poner una estructura de groupoide, incluso "canónicamente", pero no únicamente canónicamente. (Por analogía, no dirías que un conjunto es un ejemplo de espacio topológico, ¿verdad?). Así pues, si te doy un conjunto y te digo la definición de un groupoide, probablemente podrás utilizar ese conjunto para definir un groupoide, pero puede que no se te ocurra el groupoide que David tiene en mente.
Quiero usar esto como punto de partida para mi respuesta: una de las cosas buenas de los groupoides es que muchas veces empiezas con un conjunto $X$ se toma una especie de "cociente" de la misma, y entonces se queda aparentemente con un conjunto $Y$ pero de una forma que resulta desagradable: se tiene la sensación de que hay una pérdida de información. Muchas veces, hay una estructura de grupo natural en $X$ que tiene las siguientes características:
(i) Es equivalente o está implícita en algún otro tipo de estructura que esté considerando en $X$ por lo que evidentemente no es rentable pensar en $X$ como groupoide.
(ii) Paso al conjunto cociente $Y$ pierde parte de la estructura evidente.
(iii) Sin embargo, si piensa en $X$ como groupoide, entonces el cociente $Y$ también es un grupoide, y esta estructura extra es exactamente la estructura que te entristecía haber perdido.
Ejemplo: Sea $G$ sea un grupo y $X$ sea un conjunto con una acción de $G$ . Sea $Y = G \backslash X$ sea el espacio orbital. En el pasaje de $X$ a $Y$ aparentemente hemos "agotado" el $G$ -pero esto no es tan bueno: para las aplicaciones nos gustaría conocer los estabilizadores de los puntos de $X$ hasta la conjugación, sólo dependen del punto correspondiente en $Y$ pero de paso a $Y$ parece que hemos perdido esa información, que sin embargo es muy importante para las "fórmulas de masa", como en la respuesta de Qiaochu.
Remedio: darse cuenta de que cualquier $G$ -es canónicamente un groupoide: el conjunto de morfismos de $x$ a $x'$ es exactamente el conjunto de $g$ en $G$ tal que $gx = x'$ . Entonces podemos tomar el cociente de este groupoide por el $G$ -acción [esto puede hacerse en general; en este caso es suficientemente evidente lo que significa que no creo que sea útil decir nada más al respecto], de modo que $X/G$ sigue teniendo una estructura de grupoide, en la que no hay dos objetos distintos que tengan morfismos entre sí, sino que el grupo de automorfismo de cualquier objeto individual es isomorfo al grupo de isotropía de cualquier representante.
Véase, por ejemplo
http://www.maths.qmul.ac.uk/~noohi/papers/WhatIsTopSt.pdf
para saber más sobre esta perspectiva.
