¿Qué es un groupoide? ¿Cuál es un buen ejemplo de groupoide?

Question

O más concretamente, ¿por qué la gente se entusiasma tanto con ellos? ¿Y cuál es tu ejemplo fácil favorito de uno, que ilustra por qué debería importarme (y no es un grupo)?

Answer 1

Me sorprende que este ejemplo no se haya mencionado ya:

El cubo de Rubik 3x3x3 forma un grupo. El puzzle 15 forma un grupoide.

La razón es que cualquier movimiento que se pueda aplicar a un cubo de Rubik se puede aplicar en cualquier momento, independientemente del estado actual del cubo.

Esto no ocurre con el puzzle de 15. Los movimientos legales disponibles dependen de dónde esté el agujero. Así que sólo puedes componer el movimiento B después del movimiento A si A deja el puzzle en un estado en el que se puede aplicar el movimiento B. Esto es lo que caracteriza a un groupoide.

Hay más por encontrar aquí .

Answer 2

Como han mencionado otras personas, un groupoide puede definirse como una categoría en la que todo mapa es invertible. Un groupoide con un solo objeto es exactamente un grupo, y un groupoide en el que no hay mapas entre objetos distintos es simplemente una familia de grupos.

Pero hay otra clase de ejemplos, ortogonales a estos. A saber: cualquier relación de equivalencia es un grupoide. De hecho, una relación de equivalencia es exactamente un groupoide en el que para cada objeto a y objeto b existe como máximo un mapa desde a a b . Concretamente, los objetos del groupoide son los elementos del conjunto sobre el que se define la relación de equivalencia, y existe un mapa desde a a b si a es equivalente a b .

(Una categoría (pequeña) con la propiedad de que para cualquier objeto a y b existe como máximo un mapa desde a a b es lo mismo que preordered set - es decir, un conjunto dotado de una relación transitiva reflexiva, generalmente denotada \leq. )

Answer 3

Personalmente, la razón por la que me interesan los groupoides es algo llamado cardinalidad del grupoide y algunas otras ideas relacionadas (el enlace contiene muchos otros enlaces). Una idea motivadora aquí es que ciertos conjuntos X de objetos algebraicos tienen la propiedad de que ( $\sum_{x \in X} 1$ ) es feo pero ( $\sum_{x \in X} \frac 1{Aut(x)}$ ) es mucho más agradable, por lo que deberíamos pensar que ésta es la "verdadera" cardinalidad del conjunto (que en realidad es un groupoide).

Cuando uno se toma en serio esta filosofía, surgen cosas combinatorias interesantes: por ejemplo, la cardinalidad del grupo de conjuntos finitos y biyecciones entre ellos es e. ¿Por qué es interesante? Sugiere que una de las razones por las que las funciones generadoras exponenciales son importantes es que el denominador de n! es una indicación de que con lo que realmente se está trabajando es con algún tipo de estructura definida sobre el groupoide de conjuntos finitos y biyecciones. Y, de hecho, hay un enfoque de la combinatoria llamado teoría de especies que define una especie combinatoria, como los "árboles binarios", como un functor de este grupoide a sí mismo. A partir de esta información se puede extraer una función generadora, pero lo realmente importante aquí es que construcciones como la suma de funciones generadoras se consideran "descategorizaciones" de construcciones combinatorias más fundamentales, por lo que se puede evitar la maquinaria de trabajar con funciones generadoras trabajando directamente con especies. Una buena referencia es Bergeron, Labelle y Laroux .

Answer 4

Un grupoide es una generalización de un grupo. La definición más sencilla, en mi opinión, es la de una categoría en la que todas las flechas son isomorfismos. Así que un grupo no es más que un grupoide con un objeto y flechas los elementos del grupo.

El mejor ejemplo es el groupoide fundamental de un espacio topológico. Se construye un groupoide tomando como objetos los puntos del espacio y como flecha del punto x al punto y las clases de equivalencia de los caminos de x a y. De este modo se genera la idea de grupo fundamental.

Son útiles y Ronald Brown tiene todo un proyecto de construcción de teoría de grupos de dimensión superior utilizándolos. Lo mejor del grupo fundamental es que hay una versión de Van Kampen que da el grupo fundamental del círculo (sin usar la teoría de espacios de cobertura, que es la forma estándar de hacerlo usando sólo el grupo fundamental).

Un buen enlace es http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html

ETA: Puede que el enlace no funcione. Busca en Google el libro de Ronald Brown Topology and Groupoids para una buena introducción y motivación.

Answer 5

Los tilings de Penrose son objetos hermosos, con mucha simetría... pero su grupo de simetría es trivial ¡!

Así que hay una discrepancia en alguna parte. La respuesta es: ¡"groupoides"! El grupoide topológico de simetrías de un mosaico de Penrose no es trivial y contiene toda la información que tu intuición podría llamar "simetría".

La razón por la que es un grupoide y no un grupo es la siguiente. Dado un mosaico de Penrose, hay muchos mosaicos diferentes que son localmente indistinguibles de su mosaico original. Estos son los objetos de tu grupoide. Se convierte en un grupoide topológico bajo la topología de "convergencia uniforme en cualquier dominio acotado". Las flechas vienen dadas por isomorfismos entre un mosaico dado (=objeto) y una versión trasladada o rotada del mismo.