La desigualdad $ abc\geq(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$ se mantiene para $a,b,c\geq 0$

Question

¿Cuál es la prueba de que: $$\forall \ a,b,c\geq 0:\quad a\ b\ c\geq(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$$

Lo he intentado:

podemos escribir esa expresión $(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$ como $$-a^3+a^2 b+a^2 c+a b^2-2 a b c+a c^2-b^3+b^2 c+b c^2-c^3$$

entonces $$a\ b\ c\geq(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$$ $$\Longleftrightarrow $$ $$a b c \geq -a^3+a^2 b+a^2 c+a b^2-2 a b c+a c^2-b^3+b^2 c+b c^2-c^3$$

Ahora considere $f(a)=abc-(-a^3+a^2 b+a^2 c+a b^2-2 a b c+a c^2-b^3+b^2 c+b c^2-c^3)$ para $b,c$ fijo

si sigo el metodo de Quang Hoang

dejar $a+b-c=2x,b+c-a=2y,c+a-b=2z$ entonces la desigualdad se convierte en $$(y+z)(z+x)(x+y)\ge 8xyz.\tag{1}$$

para $x,y,z \geq 0$ utilizamos la desigualdad AM-GM $$(y+z)(z+x)(x+y)\ge 2(yz)^{1/2}(2zx)^{1/2}(2xy)^{1/2}.\tag{1}$$ pero otro caso de $x,y,z$ no está claro.

• se agradecerá que alguien lo explique con más detalle

Answer 1

Escriba $a+b-c=2x,b+c-a=2y,c+a-b=2z$ entonces la desigualdad se convierte en $$(y+z)(z+x)(x+y)\ge 8xyz.\tag{1}$$ Obsérvese que a lo sumo uno de $x,y,z$ puede ser negativo (considere el mayor de $a,b,c$ ).

Editar: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a=\max(a,b,c)$ entonces $$2x=(a-c)+b\ge b\ge 0, 2z=(a-b)+c\ge c\ge 0.$$

Así que hay dos casos

1. Si $y\le0$ : (1) está claro ya que el LHS es $\ge 0$ la RHS es $\le 0$ .
2. Si $y\ge 0$ entonces todos $x,y,z$ son $\ge 0$ . Uso de AM-GM: $$x+y\ge 2\sqrt{xy},y+z\ge 2\sqrt{yz},z+x\ge 2\sqrt{zx}.$$ Al multiplicarlas se obtiene (1).

Answer 2

Dejemos que $a\geq b\geq c$ .

Por lo tanto, $$abc-(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\sum_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)=$$ $$=\sum_{cyc}a(a-b)(a-c)\geq a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)=$$ $$=(a-b)(a(a-c)-b(b-c))\geq0$$ porque $a\geq b\geq0$ y $a-c\geq b-c\geq0$ .

¡Hecho!