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Tratando de encontrar el Lagrangiano entre dos partículas que no interactúan

Entonces, digamos que nuestro sistema está formado por dos partículas. Sin la fuerza gravitatoria ni ninguna otra fuerza de largo alcance, la única forma posible de que estas dos partículas interactúen es que colisionen entre sí directamente, al menos si las condiciones iniciales son tales que conducen a la colisión.

Este problema se resuelve fácilmente con la mecánica newtoniana, pero tratar de encontrar el Potencial de este sistema (para simplificar digamos que es 2D, y con las mismas partículas de masa) debería ser algo como $$ L=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2+\dot{y}_1^2 +\dot{y}_2^2) - V$$ donde $$V=V(|\vec{r_1} - \vec{r_2}|,|\vec{u_1} - \vec{u_2}|)$$ y mi pensamiento fue $$V=\Theta (|\vec{r_1} - \vec{r_2}|)\cdot \delta(|\vec{u_1} - \vec{u_2}|)$$ pero sigue sin obtener los resultados necesarios.

Obsérvese que, para partículas de la misma masa, el potencial sólo cambia las velocidades en $$\vec{r_1}=\vec{r_2}$$

¿Alguna idea? Todavía puedo resolver esto con la mecánica newtoniana, pero la aproximación lagrangiana debería funcionar igual de alguna manera

EDIT: Solución newtoniana

Con unas condiciones iniciales cualquiera (u1,u2,r1(0),r2(0)):

La coordenada x se da para ambas partículas

$$x_1 = u_1 cos(\theta_1)\cdot t + x_{10}$$ $$x_2 = u_2 cos(\theta_2)\cdot t + x_{20}$$

por lo que resolver $x_1=x_2$ da $$t_{x_1=x_2}=\dfrac{x_{20}-x_{10}}{u_1 cos(\theta_1)-u_2 cos(\theta_2)}$$ y lo mismo para $y_1=y_2$

$$t_{y_1=y_2}=\dfrac{y_{20}-y_{10}}{u_1 sin(\theta_1)-u_2 sin(\theta_2)}$$

y en ambos casos $\theta$ es el ángulo de la velocidad

La colisión sólo se produce si $$t_{y_1=y_2}=t_{x_1=x_2}$$ y en ese caso hay intercambio de velocidad (misma masa)

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John R Ramsden Puntos 143

El potencial que se busca está en la forma $\delta^{(2)}(\vec{r}_1 - \vec{r}_2) = \delta (x_1 - x_2) \delta(y_1 - y_2)$ (la función delta es simétrica en sus argumentos, por lo que no necesitamos añadir el valor absoluto). Las ecuaciones dinámicas son las siguientes $$m\ddot{x}_1 = \delta'(x_1 - x_2)\delta(y_1 - y_2)$$ $$m\ddot{x}_2 = -\delta'(x_1 - x_2)\delta(y_1 - y_2)$$ $$m\ddot{y}_1 = \delta(x_1 - x_2)\delta'(y_1 - y_2)$$ $$m\ddot{y}_2 = -\delta(x_1 - x_2)\delta'(y_1 - y_2)$$ donde $\delta'$ es el derivada de la función delta . Se trata, por supuesto, de expresiones singulares que se entienden mejor en forma integral (sólo mencionaré una de las $x$ ecuaciones a partir de ahora, el $y$ es análogo) en torno al tiempo de colisión $t_{coll}$ $$\int_{t_{coll}-\epsilon}^{t_{coll} + \epsilon} m \ddot{x}_1 dt = \int_{t_{coll}-\epsilon}^{t_{coll} + \epsilon} \delta'(x_1 - x_2) \delta(y_1 - y_2) dt$$ $$\int_{t_{coll}-\epsilon}^{t_{coll} + \epsilon} m \ddot{x}_2 dt = -\int_{t_{coll}-\epsilon}^{t_{coll} + \epsilon} \delta'(x_1 - x_2) \delta(y_1 - y_2) dt$$ Ahora tomamos el límite $\epsilon \to 0$ eliminamos los lados derechos y vemos que obtenemos las relaciones de colisión habituales $$m \dot{x}_1(t_{coll} - 0) - m \dot{x}_1(t_{coll} + 0) = - (m \dot{x}_2(t_{coll} - 0) - m \dot{x}_2(t_{coll} + 0))$$ donde el $\pm 0$ significa justo antes/después de la colisión. La integral $\int_{t_{coll}-\epsilon}^{t_{coll} + \epsilon} \delta'(x_1 - x_2) \delta(y_1 - y_2) dt$ no puede evaluarse directamente, pero a partir de las propiedades de la función delta y de sus derivadas sabemos que generalmente es distinta de cero.

Sin embargo, con más consideraciones es fácil darse cuenta de que el resultado de esta colisión está mal determinado. Por ejemplo, es matemáticamente admisible que las partículas se atraviesen mutuamente sin cambiar de velocidad. En otras palabras, no existe un modelo bien definido de punto partículas en las interacciones de contacto.

Para eliminar esta ambigüedad, se puede calcular el sección transversal diferencial del proceso e introducirlo en cada colisión a mano, o introducir un modelo de colisión diferente. Uno de los modelos de colisión de "contacto" más sencillos es el de la esfera dura $V \sim \delta^{(d)} (|\vec{r}_1 -\vec{r}_2| - 2R)$ donde $R$ es el diámetro de las partículas esféricas.

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