Entonces, digamos que nuestro sistema está formado por dos partículas. Sin la fuerza gravitatoria ni ninguna otra fuerza de largo alcance, la única forma posible de que estas dos partículas interactúen es que colisionen entre sí directamente, al menos si las condiciones iniciales son tales que conducen a la colisión.
Este problema se resuelve fácilmente con la mecánica newtoniana, pero tratar de encontrar el Potencial de este sistema (para simplificar digamos que es 2D, y con las mismas partículas de masa) debería ser algo como $$ L=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2+\dot{y}_1^2 +\dot{y}_2^2) - V$$ donde $$V=V(|\vec{r_1} - \vec{r_2}|,|\vec{u_1} - \vec{u_2}|)$$ y mi pensamiento fue $$V=\Theta (|\vec{r_1} - \vec{r_2}|)\cdot \delta(|\vec{u_1} - \vec{u_2}|)$$ pero sigue sin obtener los resultados necesarios.
Obsérvese que, para partículas de la misma masa, el potencial sólo cambia las velocidades en $$\vec{r_1}=\vec{r_2}$$
¿Alguna idea? Todavía puedo resolver esto con la mecánica newtoniana, pero la aproximación lagrangiana debería funcionar igual de alguna manera
EDIT: Solución newtoniana
Con unas condiciones iniciales cualquiera (u1,u2,r1(0),r2(0)):
La coordenada x se da para ambas partículas
$$x_1 = u_1 cos(\theta_1)\cdot t + x_{10}$$ $$x_2 = u_2 cos(\theta_2)\cdot t + x_{20}$$
por lo que resolver $x_1=x_2$ da $$t_{x_1=x_2}=\dfrac{x_{20}-x_{10}}{u_1 cos(\theta_1)-u_2 cos(\theta_2)}$$ y lo mismo para $y_1=y_2$
$$t_{y_1=y_2}=\dfrac{y_{20}-y_{10}}{u_1 sin(\theta_1)-u_2 sin(\theta_2)}$$
y en ambos casos $\theta$ es el ángulo de la velocidad
La colisión sólo se produce si $$t_{y_1=y_2}=t_{x_1=x_2}$$ y en ese caso hay intercambio de velocidad (misma masa)