La interpretación de los estados de la ecuación de Dirac depende de la representación que se elija para su $\gamma^\mu$ -matrices o su $\alpha_i$ y $\beta$ -matrices dependiendo de lo que prefieras. Ambas están vinculadas a través de $\gamma^\mu=(\beta,\beta\vec{\alpha})$ . La elección de su representación fijará (más o menos) la base en la que considera las soluciones de su ecuación (la elección de otra representación hará girar toda su solución).
La representación que elegiré es la de Dirac-Pauli, dada por: $$\beta=\left(\begin{array}{c c}\mathbb{I}_{2\times2}&0\\0&-\mathbb{I}_{2\times2}\end{array}\right) \quad\text{and}\quad \alpha^i=\left(\begin{array}{c c}0&\sigma^i\\\sigma^i&0\end{array}\right),$$ donde $\sigma^i$ son las matrices de Pauli.
Si se resuelve la ecuación de Dirac en esta representación, se encontrará 4 soluciones independientes : $$ \psi_1(x)=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) $$ $$ \psi_2(x)=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\\frac{p_x-ip_y}{E+m}\\\frac{-p_z}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) $$ $$ \psi_3(x)=N_3\left(\begin{array}{c}\frac{p_z}{E-m}\\\frac{p_x+ip_y}{E-m}\\1\\0\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu) $$ $$ \psi_4(x)=N_4\left(\begin{array}{c}\frac{p_x-ip_y}{E-m}\\\frac{-p_z}{E-m}\\0\\1\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu) $$
La forma de interpretar estos estados es mirarlos en el marco de reposo, es decir, el marco en el que están quietos $p^\mu=(E,0,0,0)$ los estados pasarán a ser simplemente los siguientes: $$\psi_1=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)e^{-iEt}, \psi_2=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)e^{-iEt}, \psi_3=N_3\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)e^{iEt}\text{ and } \psi_4=N_4\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)e^{iEt},$$ Por la inspección de la evolución temporal del factor de fase ya podemos ver que $\psi_1$ y $\psi_2$ representan estados energéticos positivos (partículas) y el $\psi_3$ y $\psi_4$ representan estados energéticos negativos (por tanto, antipartículas).
Para conocer el giro hay que utilizar el operador de helicidad , dado por: $$\sigma_p=\frac{\hat{\vec{p}}\cdot \hat{S}}{|\vec{p}|},$$ En el caso de la ecuación de Dirac, el operador de espín viene dado por la doble matriz de Pauli: $$\hat{S}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\vec{\sigma}&0\\0&\vec{\sigma}\end{array}\right),$$ si dejamos que éste trabaje en los espinores $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ y $\psi_4$ encontramos que su giro es respectivamente hacia arriba, hacia abajo, hacia arriba, hacia abajo. Así que mirando a los electrones el espinor de Dirac puede ser interpretado en la representación Pauli-Dirac como (por ejemplo para el electrón): $$ \psi=\left(\begin{array}{c}e^-\uparrow\\e^-\downarrow\\e^+\uparrow\\e^+\downarrow\end{array}\right). $$ Cuando el momento NO es igual a cero estos diferentes estados se mezclan y no se puede hacer una identificación tan simple. Normalmente se dice que el electrón se convierte en una mezcla de electrón con positrones cuando empieza a moverse.
