18 votos

Interpretación de los estados de la ecuación de Dirac

En la teoría de Pauli las componentes de la función de onda de dos componentes se interpretaban como amplitudes de probabilidad de encontrar la partícula en un estado de espín determinado. Esto parece fácil de entender.

Pero al hablar de la ecuación de Dirac, tenemos una función de onda de cuatro componentes, dos de los cuales corresponden a los componentes de espín habituales del electrón de Pauli, y otros dos... ¿Cómo interpreto las componentes relacionadas con el positrón del electrón de Dirac? ¿Son amplitudes de probabilidad para que la partícula parezca positrón? O tal vez para que parezca no ser positrón (teniendo en cuenta la imagen del mar de Dirac)?

23voto

Tony Peterson Puntos 3090

La interpretación de los estados de la ecuación de Dirac depende de la representación que se elija para su $\gamma^\mu$ -matrices o su $\alpha_i$ y $\beta$ -matrices dependiendo de lo que prefieras. Ambas están vinculadas a través de $\gamma^\mu=(\beta,\beta\vec{\alpha})$ . La elección de su representación fijará (más o menos) la base en la que considera las soluciones de su ecuación (la elección de otra representación hará girar toda su solución).

La representación que elegiré es la de Dirac-Pauli, dada por: $$\beta=\left(\begin{array}{c c}\mathbb{I}_{2\times2}&0\\0&-\mathbb{I}_{2\times2}\end{array}\right) \quad\text{and}\quad \alpha^i=\left(\begin{array}{c c}0&\sigma^i\\\sigma^i&0\end{array}\right),$$ donde $\sigma^i$ son las matrices de Pauli.

Si se resuelve la ecuación de Dirac en esta representación, se encontrará 4 soluciones independientes : $$ \psi_1(x)=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) $$ $$ \psi_2(x)=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\\frac{p_x-ip_y}{E+m}\\\frac{-p_z}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) $$ $$ \psi_3(x)=N_3\left(\begin{array}{c}\frac{p_z}{E-m}\\\frac{p_x+ip_y}{E-m}\\1\\0\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu) $$ $$ \psi_4(x)=N_4\left(\begin{array}{c}\frac{p_x-ip_y}{E-m}\\\frac{-p_z}{E-m}\\0\\1\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu) $$

La forma de interpretar estos estados es mirarlos en el marco de reposo, es decir, el marco en el que están quietos $p^\mu=(E,0,0,0)$ los estados pasarán a ser simplemente los siguientes: $$\psi_1=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)e^{-iEt}, \psi_2=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)e^{-iEt}, \psi_3=N_3\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)e^{iEt}\text{ and } \psi_4=N_4\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)e^{iEt},$$ Por la inspección de la evolución temporal del factor de fase ya podemos ver que $\psi_1$ y $\psi_2$ representan estados energéticos positivos (partículas) y el $\psi_3$ y $\psi_4$ representan estados energéticos negativos (por tanto, antipartículas).

Para conocer el giro hay que utilizar el operador de helicidad , dado por: $$\sigma_p=\frac{\hat{\vec{p}}\cdot \hat{S}}{|\vec{p}|},$$ En el caso de la ecuación de Dirac, el operador de espín viene dado por la doble matriz de Pauli: $$\hat{S}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\vec{\sigma}&0\\0&\vec{\sigma}\end{array}\right),$$ si dejamos que éste trabaje en los espinores $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ y $\psi_4$ encontramos que su giro es respectivamente hacia arriba, hacia abajo, hacia arriba, hacia abajo. Así que mirando a los electrones el espinor de Dirac puede ser interpretado en la representación Pauli-Dirac como (por ejemplo para el electrón): $$ \psi=\left(\begin{array}{c}e^-\uparrow\\e^-\downarrow\\e^+\uparrow\\e^+\downarrow\end{array}\right). $$ Cuando el momento NO es igual a cero estos diferentes estados se mezclan y no se puede hacer una identificación tan simple. Normalmente se dice que el electrón se convierte en una mezcla de electrón con positrones cuando empieza a moverse.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X