Esto fue algo que surgió en clase y me confundió...
Así pues, sabiendo que la serie de potencias puede diferenciarse término a término dentro del intervalo de convergencia, utilizando la serie de Maclaurin se puede derivar la fórmula de diferenciación de la función $f(x) = \frac{1}{1-x}$ .
A qué se refieren con la fórmula de diferenciación y cómo la obtengo usando la serie de Maclaurin? Estoy bastante confundido xD
La fórmula de McLaurin no es más que la expansión de Taylor calculada en $0$ Así que..: $$ f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x^2}{2}+\dots=\sum_{k=0}^\infty f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}. $$
En su caso: $$ f(0)=1, $$ $$ f'(x)=-\frac{1}{(1-x)^2}\cdot(-1); f'(0)=1, $$ y así sucesivamente.
Dice fórmula de diferenciación, ya que hay que calcular todas las derivadas de $f(x)$ .
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