Pregunta sobre el anillo de funciones regulares de una variedad de tipo finito

Question

Creo que la siguiente afirmación es verdadera pero no puedo demostrarlo:

Si $X$ es una variedad de tipo finito, entonces $\Gamma(X,O_X)$ es un álgebra generada finitamente.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Desafortunadamente, esto no es cierto. Básicamente, el problema radica en que todo lo que se obtiene es que el anillo de funciones regulares es un subanillo de un anillo finitamente generado a través de la condición de la gabela en $\mathcal{O}_X$, pero esto no significa que el subanillo sea finitamente generado.

Aquí hay un contraejemplo específico, tomado de la útil nota de Ravi Vakil. Sea $E$ una curva elíptica sobre algún campo base infinito $k$, $N$ una gabela invertible de grado 0 en $E$, y $P$ una gabela invertible en $E$ de grado al menos 3. Ahora, consideremos $Y$, el espacio total de $N\oplus P^*$. Afirmación: este es un trío de quasiafines no singular con un anillo de funciones regulares infinitamente generado.

Remitimos al lector a la nota de Vakil para la prueba de la no generación finita y explicamos la quasiafinidad a continuación, ya que es lo que importa para demostrar que este esquema es de tipo finito.

Para demostrar que $Y$ es quasiafín, notamos que $P$ da una inclusión $E\hookrightarrow \Bbb P^{\deg P - 1}$. Sea $A$ el cono afín sobre esto y $B$ el complemento del origen. Luego hay un morfismo natural $\pi:B\to E$ que expresa $B$ como el espacio total de $P^*$ sobre $E$. Extendamos $\pi^*P^*$, una gabela invertible en $B$, a una gabela coherente $M$ en $A$ tomando la envoltura refleja (lo cual funciona ya que $A\setminus B$ es de codimensión $\geq 2$ en $A$). Ahora sea $Z$ el espectro del álgebra simétrica de $M$ - esto es afín, y contiene a $Y$ como un subesquema abierto.

Mostraremos que $Y$ es de tipo finito sobre el campo base. Comenzamos estableciendo un hecho acerca de $Z$: es el espectro de un álgebra $k$-generada finitamente, ya que es $\operatorname{Spec} Sym(M(A))$, y $M(A)$ es un módulo finitamente generado sobre $\mathcal{O}_A(A)$, que a su vez es un álgebra finitamente generada sobre $k$. Esto significa que $Z$ es de tipo finito sobre $k$ y noetheriano.

Para mostrar que $Y$ es de tipo finito, recordamos que cualquier inmersión abierta es localmente de tipo finito ya que es localmente un isomorfismo, por lo que $Y\to Z$ y $Z\to \operatorname{Spec} k$ son ambos localmente de tipo finito y, por lo tanto, $Y$ es localmente de tipo finito sobre $\operatorname{Spec} k$. Luego, para mostrar que $Y\to \operatorname{Spec} k$ es quasicompacto, basta con demostrar que $Y$ es un espacio topológico quasicompacto. Pero esto es claro: como $Z$ es noetheriano, y cualquier subconjunto de un espacio topológico noetheriano es quasicompacto, $Y$ también es quasicompacto. Por lo tanto, $Y\to \operatorname{Spec} k$ es localmente de tipo finito y quasicompacto, por lo que es de tipo finito.