Función monótona en intervalo cerrado

Question

Estoy leyendo una demostración de que una función monótona en un intervalo cerrado es integrable.

La prueba utiliza la suposición de que "Supongamos que $f$ es creciente, por lo que para todo $x\in[a,b]$ : $f(a)\le f(x)\le f(b)$ y $f$ está acotado "

¿Por qué podemos suponer que $f$ ¿está acotado? quizás $\lim_{x\to b}f(x)=\infty$ ?

Además, si toda función monótona en un intervalo cerrado está acotada, ¿también obtiene allí sus valores máximos y mínimos?

Answer 1

Como la función está definida en un cerrado intervalo. Como es creciente, ciertamente su valor en $b$ es máxima.

Si tuviéramos eso $\lim_{x\to b}=+\infty$ , entonces o bien la función no está definida en $b$ (por lo que el intervalo no es cerrado), o cualquier valor (finito) que se asigne a $f$ en $b$ violará la monotonía.

Answer 2

Ciertamente $f(a)$ es un límite inferior y $f(b)$ es un límite superior. Si $f$ es de valor real, entonces eso hace que $f$ acotado en el intervalo.

Si $f$ es débilmente creciente y $f(x)\uparrow\infty$ como $x\uparrow b$ entonces $f(b)=\infty$ . Si $f$ puede tomar valores en $[-\infty,\infty]$ Entonces, eso puede ocurrir. Sin embargo, es convencional no llamar a una función "acotada" cuando está acotada sólo por $+\infty$ o o $-\infty$ .