El mapa de la inclusión $S_1\to S_1\times S_1$ Induce una inyección en la primera homología.

Question

Dejemos que $T=S^1\times S^1$ sea el toroide y $A=S^1\times \{x_0\}$ ser el círculo "vertical" en la representación habitual del toro como una cámara de aire sentada "horizontalmente".

Dejemos que $i:A\to T$ sea el mapa de inclusión. Quiero demostrar que el mapa inducido $i_*:H_1(A)\to H_1(T)$ es una inyección.

Lo he conseguido pero mi solución es muy ad hoc y es que he tenido suerte. Estoy buscando algunas ideas o pruebas alternativas.

Esta es mi solución.

Desde $H_2(A)=0$ la secuencia exacta larga del par $(X, A)$ lee

$$0\rightarrow H_2(T)\xrightarrow{j_*} H_2(T, A)\xrightarrow{\partial} H_1(A)\xrightarrow{i_*} H_1(T)\rightarrow \cdots$$

Usando la homología celular encontré $H_2(T)=\mathbf Z$ . Para encontrar $H_2(X, A)$ no me parece fácil. Pero aquí hay una manera de hacerlo. Observamos que $(X, A)$ es un buen par. Así, $H_2(X, A)\cong H_2(T/A)$ . El siguiente diagrama muestra que $T/A$ es equivalente en homotopía a la suma en cuña de una esfera con un círculo.

El hecho que estamos utilizando aquí es que es $A$ es un subcomplejo contráctil de un complejo CW $X$ el mapa de cociente $X\to X/A$ es una equivalencia homotópica.

Por lo tanto, deducimos que $H_2(T, A)=\mathbf Z$ . También, $H_1(A)$ es claramente $\mathbf Z$ . La secuencia exacta larga se convierte en

$$0\rightarrow \mathbf Z\xrightarrow{j_*} \mathbf Z\xrightarrow{\partial} \mathbf Z\xrightarrow{i_*} H_1(T)\rightarrow \cdots$$

Para demostrar que $i_*$ es inyectiva, basta con demostrar que $j_*$ es un isomorfismo. Si no es así, entonces la imagen de $j_*$ es $n\mathbf Z$ para algunos $n>0$ , lo que significa $\mathbf Z/n\mathbf Z$ se incrusta en $\mathbf Z$ . Esto no es posible. Por lo tanto, $j_*$ es un isomorfismo y hemos terminado.

Answer 1

La proyección $p:(x,y)\in T\to (x,x_0)\in A$ en el primer factor tiene la propiedad de que $p\circ i$ es la identidad de $A$ . De ello se desprende que la composición $$H_1(A)\xrightarrow{i_*} H_1(T)\xrightarrow{p_*}H_1(A)$$ es la identidad de $H_1(A)$ y, en particular, un mapa inyectivo. Por supuesto, se deduce que $i_*$ es inyectiva.

Answer 2

Aquí hay un par de maneras más sistemáticas de ver esto. En primer lugar, puede observar que $A$ es un repliegue de $T$ a través del mapa $r:S^1\times S^1\to S^1\times\{x_0\}$ definido por $r(x,y)=(x,x_0)$ . Se deduce por funtorialidad que la homología de $A$ es un sumando directo de la homología de $T$ y en particular el mapa inducido es inyectivo.

En segundo lugar, se puede calcular todo de forma bastante explícita y directa en términos de homología celular. Hay una estructura estándar de complejo CW en $T$ que realiza $T$ como un espacio cociente de un cuadrado, con un único $0$ -célula, dos $1$ -células, y una $2$ -célula. Los mapas de límites celulares son todos $0$ para esta estructura celular. Además, su círculo $A\subset T$ no es más que la unión de los $0$ -célula y una de las dos $1$ -células. Así que el mapa $i:A\to T$ induce un mapa sobre los complejos de cadenas celulares que no es más que la inclusión del subcomplejo formado por los múltiplos de estas dos células. Dado que los mapas de límites celulares son $0$ la homología es simplemente isomorfa a los grupos de cadenas, y así el mapa inducido sobre la homología es inyectivo porque el mapa inducido sobre los complejos de cadenas era inyectivo