Para dos distribuciones de probabilidad continuas $F,G$ y sus densidades, $f,g$ la distancia/afinidad de Hellinger (al cuadrado) viene dada por $d^2_H(F,G)=1-\int_{\mathbb{R}} \sqrt{fg}~dx$ . Supongamos que $f,g$ son densidades de mezcla de dos componentes con probabilidad de mezcla $\pi$ , de tal manera que $$ f(x)=\pi f_0(x)+(1-\pi)f_1(x)\\ g(x)=\pi g_0(x)+(1-\pi)g_1(x) $$ El término de la raíz cuadrada es bastante complicado dado este modelo. ¿Hay alguna referencia que aborde la distancia de Hellinger entre estas distribuciones de mezcla?
Respuesta
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Para $f=\pi f_0+(1-\pi)f_1$ , $g=\pi g_0+(1-\pi)g_1$ y $\pi\in(0,1)$ , tenemos \begin{equation} \frac{\partial^2}{\partial\pi^2}\sqrt{fg}= -\frac{\left(f_1 g_0-f_0 g_1\right){}^2}{4 (fg)^{3/2}}\le0. \end{equation} Así que, $\sqrt{fg}$ es cóncavo en $\pi$ y por lo tanto $d^2_H(F,G)$ es convexo en $\pi\,$ : $$ d^2_H(F,G)\le\pi d^2_H(F_0,G_0)+(1-\pi)d^2_H(F_1,G_1) $$ para $\pi\in[0,1]$ , donde $F_j,G_j$ son las distribuciones con densidades $f_j,g_j$ respectivamente, para $j=0,1$ .
