Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo y $V$ ser un $R$ -tal que $V\otimes_{R}V \cong R$ como $R$ -módulos. Quiero demostrar que $V$ es una entidad finitamente generada y proyectiva $R$ -módulo.
Lo que he considerado:
Claramente $V\otimes_{R}V$ es de generación finita y proyectiva, ya que $R$ se desprende inmediatamente de las definiciones. Para la proyectividad, dada una secuencia exacta corta de $R$ -módulos:
$$M \xrightarrow{f} V \rightarrow 0$$
podemos aplicar el functor exacto correcto $\_\otimes_{R} V$ cediendo:
$$ M\otimes_{R} V\xrightarrow{f\otimes\text{id}} V \otimes_{R} V \rightarrow 0.$$
Como $ V \otimes_{R} V$ es proyectiva, ésta se divide, así que, moralmente, sólo quiero "restringir el mapa de división a los tensores puros de la forma $v \otimes 1$ " y concluir. Lo único que se me ha ocurrido que podría precisar esto es mostrar que el mapa de división debe ser de la forma $s=s_{1}\otimes s_{2}$ .
Por ser finitamente generado, me parece "intuitivamente claro" que si $V \otimes_{R} V$ está generada finitamente, entonces también debe estarlo $V$ pero tengo problemas para mostrar esto con cuidado. En particular, me siento bien con la afirmación inversa, como se discute en Producto tensorial de dos módulos generados finitamente
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Del isomorfismo se obtiene un mapa bilineal $V\times V\to R$ . Utilízalo para construir un mapa de V a su módulo dual, y demuestra que es un isomorfismo.
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@MarianoSuárez-Álvarez Si $\phi : V \times V \rightarrow R$ es el $R$ -que corresponde al isomorfismo dado, entonces me he convencido $\widetilde {\phi} : V \rightarrow V^{*}$ tomando $\widetilde{\phi}(w)(v) = \phi(v,w)$ es un isomorfismo. Sin embargo, me apena decir que todavía no estoy muy seguro de cómo ayuda esto. Asumo que esto era una alusión a la parte del argumento sobre los módulos generados finitamente; ¿quizás demuestre que un módulo generado infinitamente nunca puede ser isomorfo a su dual?