Sé que $(\mathbb{Q},+)$ no tiene ningún subgrupo máximo. Así que creo que no hay ningún maximal $p$ -subgrupo divisible. No tengo ni idea... por favor...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Creo que el máximo subgrupo p de (Q,x) es {-1,1}
pf) supongamos que existe un subgrupo p máximo que contiene {1,-1}, entonces existe elemnet $\frac{b}{a}$ en A donde a,b en Z. Por definición de p-divisible, hay un elemento x tal que $x^p =\frac{b}{a}$
donde $a={{p_1}^{a_1}}{{p_2}^{a_2}}\ldots{{p_n}^{a_n}}, b={{p_1}^{b_1}}{{p_2}^{b_2}}\ldots{{p_n}^{b_n}}$ .
1)si p no divide $a_i$ o $b_i$ entonces x es irracional ===> contradicción.
2)si p divide tanto a_i como b_i, x es racional. repetir el mismo proceso anterior, a veces hay x' que es irracional ==> contradicción.
Así que {-1, 1} es el máximo subgrupo p-divisible de (Q,x)