Encontrar la condición si una ecuación cuadrática tiene al menos una raíz real dado el intervalo de x

Question

Pregunta: Encuentre el valor de $a$ si la ecuación $ax^2 + 2x -1 = 0$ tiene al menos una raíz real para $3 \leq x < 4$

Sé que si la restricción de $x$ no se da, puedo usar $D \geq 0$ para obtener la condición de al menos una raíz real, pero si $x$ está restringido, entonces ¿cómo lo hago?

Answer 1

Consideremos los valores de la cuadrática en los puntos extremos, a saber $9a+5$ y $16a+7$ . Hay exactamente una raíz en el intervalo si $(9a+5)(16a+7)\le 0 \implies a\in [-\frac59, -\frac7{16})$ . [ Obsérvese que no podemos tener simultáneamente los dos puntos finales a cero para cualquier valor de $a$ . ]

La posibilidad restante es la de dos raíces en el intervalo, que necesita un punto de inflexión en el intervalo y que el valor en el punto de inflexión tenga signo contrario a los valores en los puntos finales. El punto de inflexión es $x=-1/a\in (3,4) \implies a\in (-\frac13,-\frac14)$ por lo que el valor en el punto de inflexión es $1/a-2/a-1=-1/a-1>0$ . Sin embargo, se ve $9a+5$ (o $16a+7$ ) es positiva también para el $a$ , por lo que no puede haber dos raíces en el intervalo.

Answer 2

De la ecuación cuadrática,

$$a=\frac{1-2x}{x^2}$$ y el rango de esta expresión para $3\le x<4$ es

$$-\frac59\le a<-\frac7{16}.$$

Answer 3

Escribe las dos raíces y colócalas entre $3$ y $4$ y luego, primero suponer $a$ es positivo y multiplica los tres lados de las desigualdades por $a$ y resolverlos!. Cuando $a$ es negativo el proceso es como antes.

Answer 4

$$ax^2 + 2x -1 = 0 \iff x^2 +\dfrac 2a - \dfrac 1a=0$$

Veo que hay una solución mucho más sencilla, pero me ha gustado cómo ha funcionado esta solución.

Que las raíces sean $r$ y $s$ . Entonces

$$r + s = -\dfrac 2a \quad \text{and} \quad rs = -\dfrac 1a$$

$$r+s = 2rs$$

$$r(1-2s) = -s$$

$$r = \dfrac{s}{2s-1}$$

Si $\, s=3$ entonces $r= \dfrac 35$ y $a = -\dfrac{1}{rs}=-\dfrac 59$ .

si $\,s=4$ entonces $r= \dfrac 47$ y $a = -\dfrac{1}{rs}=-\dfrac{7}{16}$ .

Así que $-\dfrac59\le a<-\dfrac7{16}$ .