Demostrar o refutar que esta tabla es un campo

Question

Se agradecerá cualquier ayuda sobre cómo enfocar esto y empezar.

Answer 1

Un campo no tiene divisores distintos de cero.

Answer 2

Obsérvese en la tabla de multiplicar, la del $\cdot$ operación, que

$2 \cdot 2 = 0; \tag 1$

así $2$ es nilpotente; pero un campo $F$ no puede tener nilpotentes no nulos (nota $2 \ne 0$ desde $3 + 2 = 1 \ne 3$ ).

Si $F$ es un campo y $a \in F$ fueron nilpotente, es decir, si

$a^k = 0, \; 2 \le k \in \Bbb N, \tag 2$

entonces

$a = a^{1 - k} a^k = a^{1 - k} = 0; \tag 3$

que muestra que un campo no tiene elementos nilpotentes no nulos.