Probar una fórmula general para la potencia $k$ de una matriz

Question

Dejemos que $$A= \begin{bmatrix}7 & 4\\-9 & -5\end{bmatrix}$$ Demostrar que $$A^k= \begin{bmatrix}1+6k & 4k\\-9k & 1-6k\end{bmatrix}$$ para todos $k \in \mathbb{N}$ .

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Procedemos por inducción. El caso base cuando $k=1$ es cierto porque $A^1 = \begin{bmatrix} 7&4\\-9&-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+6(1)&4(1)\\-9(1)&1-6(1)\end{bmatrix}.$ Supongamos que $A^n=\begin{bmatrix}1+6(n)&4(n)\\-9(n)&1-6(n)\end{bmatrix}$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ . Entonces, utilizando la multiplicación de matrices, se puede demostrar que $A^{n+1}=\begin{bmatrix}1+6(n+1)&4(n+1)\\-9(n+1)&1-6(n+1)\end{bmatrix},$ completando la prueba.

Answer 2

Inducción matemática: $$A^{k+1}= \begin{bmatrix}1+6k & 4k\\-9k & 1-6k\end{bmatrix} \begin{bmatrix}7 & 4\\-9 & -5\end{bmatrix}=$$

$$\begin{bmatrix}1+6(k+1) & 4(k+1)\\-9(k+1) & 1-6(k+1)\end{bmatrix}$$

Answer 3

Intentemos obtener de forma heurística la fórmula general $$A^k= \begin{bmatrix}1+6k & 4k\\-9k & 1-6k\end{bmatrix}\tag{1}.$$

Se podría pensar en utilizar la relación $$A^k=PD^kP^{-1}$$ donde $D=diag\{\lambda_1,\lambda_2\}$ . Pero esto es imposible porque $A$ no es diagonalizable. En efecto, $A$ tiene un doble valor propio : $$\lambda_1=\lambda_2=1$$ con un espacio eigénico unidimensional generado por $\binom{\ 2}{-3}$ . Por lo tanto, siendo la dimensión del eigespacio menor que el orden de multiplicidad del correspondiente valor propio, la matriz $A$ no es diagonalizable.

Debemos recurrir a un Descomposición de Jordan de la matriz $A$ (que se puede reconocer en el comentario de @Dietrich Burde):

$$\underbrace{\begin{bmatrix}\ \ 7 & \ \ 4\\-9 & -5\end{bmatrix}}_{A}=\underbrace{\begin{bmatrix}\ \ 2 & 1/3\\-3 & 0\end{bmatrix}}_{V}\underbrace{\begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{bmatrix}}_{J}\underbrace{\begin{bmatrix}0 & -1/3\\3 & \ \ 2\end{bmatrix}}_{V^{-1}}\tag{2}$$

Como consecuencia de (2):

$$A^k=VJ^kV^{-1}\tag{3}$$

con

$$J^k=\begin{bmatrix}1 & k\\0 & 1\end{bmatrix},$$

queda expandir el lado derecho de (3) para obtener la fórmula (1).

Observación : Cómo matriz $V$ ¿se ha encontrado? Su primera columna $V_1$ se toma como solución a $(A-1I)V_1=0$ es decir, un vector propio de $A$ o, de forma equivalente, un elemento del núcleo de $B:=A-1I$ su segunda columna $V_2$ es una solución vectorial de $(A-1I)V_2=V_1$ es decir, un elemento del núcleo de $B^2$ .