Gráficos de Feynman en la teoría cuántica de campos no conmutativa

Question

Ahora aprendo la teoría cuántica de campos no conmutativa. Aquí se trata este tema: arXiv:hep-th/0109162

He entendido las ecuaciones básicas, pero no entiendo bien las reglas de Feynman para el caso no conmutativo. Tengo las siguientes preguntas:

1. Considerando la acción $S$ de un modelo no c. (por ejemplo, el modelo de producto Moyal) y ahora divido la acción así: $$S = \int_{0}^{T_1} dt \int d^3x L + \int_{T_1}^{T_2} dt \int d^3x L.$$ Si calculo $e^{iS}$ puedo escribir $$e^{iS}=e^{i\int_{0}^{T_1} dt \int d^3x L }e^{i\int_{T_1}^{T_2} dt \int d^3x L}$$ ¿o se requiere la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff? La no conmutatividad en la teoría del producto de Moyal se refiere sólo al cambio de orden de multiplicación de los campos, pero ¿depende del orden toda multiplicación en dicha teoría? ¿Es en una teoría de productos de Moyal $$e^{iS} = e^{i\int_{0}^{T_1} dt \int d^3x L } \star e^{i\int_{T_1}^{T_2} dt \int d^3x L}$$ ¿O puedo tratar una acción como si fuera conmutativa?

2. Grafos planos y grafos no planos: ¿Por qué en los grafos no conmutativos se tienen dos líneas paralelas entre sí, pero una con dirección opuesta a la otra? ¿Cómo se obtienen estos grafos?

Answer 1

1. A menudo, cuando los físicos se refieren a teoría de campos no conmutativos , están hablando de un producto estrella $\star$ dentro de la densidad lagrangiana, por ejemplo, la no conmutativa $\phi^4$ -la teoría es $$ {\cal L}~=~-\frac{1}{2}\partial_{\mu} \phi ~\partial^{\mu} \phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi\star\phi\star\phi\star\phi, $$ es decir, arriba $^1$ en el integral de la trayectoria .

   El producto estrella $\star$ se suele suponer que es no conmutativo sólo en las direcciones espaciales. Entonces el producto estrella $\star$ no interfiere con la prescripción de ordenación del tiempo en la integral de la trayectoria, y no habrá $\star$ -diferencias abajo en la integral de la trayectoria. Véase también, por ejemplo, mi respuesta de Phys.SE aquí y los enlaces que contiene.

2. Planar Los diagramas de Feynman no conmutativos utilizan La notación de doble índice/línea de 't Hooft . Esto tiene sentido porque el producto estrella $\star$ puede verse como una multiplicación de matrices (posiblemente de dimensión infinita). El momento $p=\ell_a-\ell_b$ en un propagador de doble línea es la diferencia entre los momentos de las dos líneas simples. De este modo, la conservación global del momento se implementa automáticamente y los vértices adoptan una forma más sencilla.

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$^1$ Una función de correlación $\langle F \rangle$ en la formulación de la integral de trayectoria es esquemáticamente de la forma $\langle F \rangle=\frac{1}{Z} \int F e^{\frac{i}{\hbar}S}$ . Las palabras abajo y arriba consulte $F$ y $S$ respectivamente, por razones que espero sean obvias.