Cómo $\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{\log x}dx=e^{\frac14} \sqrt{\pi}$ ?

Question

He tratado de evaluar $$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\log x}\,dx$$ utilizando el cambio de variable $z=\frac{1}{x}$ rendimiento para integrar $\frac{-z^{-\log z}}{z^2}$ de $0 \to \infty $ pero la cantidad obtenida no es estándar para mí para la integración, probablemente esto es bien conocido integral? ¿Alguna forma sencilla de integración?

Nota :El resultado utilizando WA es $e^{\frac14} \sqrt{\pi}$

Answer 1

$$\begin{align} I =&\int\limits_0^\infty\left(\frac1x\right)^{\ln x}\,\mathrm dx \\ =&\int\limits_0^\infty x^{-\ln x}\,\mathrm dx \\ \stackrel{\color{red}{x=e^u}}{=}&\int\limits_{-\infty}^\infty (e^u)^{-u}e^u\,\mathrm du \\ =&\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(u^2-u)}\,\mathrm du \end{align}$$ Ahora fíjate en eso: $$u^2-u=\left(u-\frac12\right)^2-\frac14$$ sustituyendo esto da: $$\begin{align} I =&e^{1/4}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(u-1/2)^2}\,\mathrm du \\ \stackrel{\color{red}{v=u-\frac12}}{=}&e^{1/4}\underbrace{\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-v^2}\,\mathrm dv}_{\color{blue}{\text{Gaussian integral}}} \\ =&e^{1/4}\sqrt{\pi} \end{align}$$