Cómo resolver $\lim_{x\rightarrow a} (2-\frac{x}{a})^{\tan (\frac{\pi x}{2a})}$

Question

¿Puede alguien ayudarme a calcular el siguiente límite?

$$\lim_{x\to a} \Big(2-\frac{x}{a}\Big)^{\tan\dfrac{\pi x}{2a}}$$

Gracias.

Answer 1

Diga $2-\dfrac{x}{a}=1+\dfrac{1}{y}$ entonces $y=\dfrac{a}{a-x}$ y $y\to\infty$ como $x\to a$ . Con esta sustitución tenemos $$\tan(\frac{\pi x}{2a})=\cot(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2a})=\cot(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2a})=\cot\frac{\pi}{2y}$$ así que $$\lim_{x\to a} (2-\frac{x}{a})^{\tan (\frac{\pi x}{2a})}=\lim_{y\to\infty}\Big[(1+\dfrac{1}{y})^y\Big]^{\frac1y\cot\frac{\pi}{2y}}$$ Pero $$\lim_{y\to\infty}\frac1y\cot\frac{\pi}{2y}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\tan\frac{\pi t}{2}}=\frac{2}{\pi}$$ Por lo tanto, el límite es $\color{red}{e^\frac{2}{\pi}}$ .

Answer 2

Considere $\lim_{x\rightarrow a} e^{\ln((2-\frac{x}{a})^{\tan (\frac{\pi x}{2a})})}=\lim_{x\rightarrow a} e^{\tan(\frac{\pi x}{2a})\ln(2-\frac{x}{a})}$ .

Es evidente que basta con calcular el límite $$\lim_{x\rightarrow a} {\tan(\frac{\pi x}{2a})\ln(2-\frac{x}{a})}.$$ Podemos hacerlo utilizando la regla de L'Hopitals.

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow a} {\tan(\frac{\pi x}{2a})\ln(2-\frac{x}{a})} &=& \lim_{x\rightarrow a} \frac{\sin(\frac{\pi x}{2a})\ln(2-\frac{x}{a})}{\cos(\frac{\pi x}{2a})}\\ & \overset{\mathrm{H}}{=}& \lim_{x\rightarrow a} \frac{\frac{\pi}{2a}\cos(\frac{\pi x}{2a})\ln(2-\frac{x}{a})-\frac{1}{a}\frac{1}{2-\frac{x}{a}}\sin(\frac{\pi x}{2a})}{-\frac{\pi}{2a}\sin(\frac{\pi x}{2a})}\\ &=& \frac{2}{\pi}. \end{eqnarray}

Por lo tanto, el límite deseado es $e^{\frac{2}{\pi}}$ .