La historia de la representación de la matriz de números complejos

Question

Es bien sabido que muchos de los que $\mathbb{C}$ pueden ser representadas por las matrices de la forma $\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right]$. Por ejemplo, ver a esta pregunta o esta pregunta. También se habla en el artículo de wikipedia sobre la historia de los números complejos en el artículo. Al parecer, incluso hay una introducción de variable compleja libro de texto por Copson de 1935, que utiliza tales matrices para definir los números complejos. Esto se menciona en Números por Ebbinghaus et. al. en la página 69.

Mi pregunta es simplemente esta:

¿Cuál es la historia de esta construcción? El primero que explicó que los números complejos pueden ser vistas como $2 \times 2$ matrices de la forma especial de $\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right]$ ?

Me doy cuenta de que esto es sólo el ordinario de la representación de $\mathbb{C}$, y me doy cuenta de tales matrices son matrices de una dilatación compuesto con una rotación y, posiblemente, una reflexión, pero, la pregunta sigue siendo, que encontramos a estos primeros? Las referencias son apreciados.

Answer 1

Este conjunto de notas de la conferencia de Wedderburn dice explícitamente que un complejo de escalares $\alpha + i\beta$ puede ser escrito como \begin{equation} \left(\begin{array}{lr} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{array}\right) \end{equation} en la página 101 del PDF (esta es la página 108 del documento cuando se ve en un visor de PDF). Estas notas son a partir de 1934, que es, obviamente, sólo un poco antes de su ejemplo. Sin embargo, las notas que ellos mismos se basan en las conferencias dadas en la universidad de Princeton a partir de 1920, y parece que esta notación se remonta a 1907, porque en ese año Wedderburn (en su tesis) mostró que asociativa hypercomplex sistemas pueden ser representados por matrices. He sido incapaz de encontrar su tesis en línea para comprobar si esta representación es explícitamente por escrito, pero voy a actualizar este post si lo hago.

Yendo aún más atrás, en 1858 Arthur Cayley publicado "Un libro de Memorias sobre la Teoría de Matrices" en la que se menciona la matriz de representaciones de cuaterniones. Específicamente, en el artículo #45 en la página 32 del PDF (o en la página 17 cuando se ve en un visor de PDF), se hace una mención del hecho de que las matrices de $M$, $N$, y $L$ tal que $L^2 = -1$, $M^2 = -1$, y $N = LM - -ML$ satisfacen un sistema de ecuaciones que es el mismo que aquellos a los que los cuaterniones satisfacer. Yo no veo nada en el documento mencionado por Cayley acerca de la representación de los números complejos con las matrices, aunque he visto un par de pasar referencias a Cayley viene con la idea en 1858, por lo que puede ser el consenso de la comunidad matemática que el crédito debe ir a Cayley.

Answer 2

Hoy fue el primer día de clase en mi complejo curso de análisis. Yo a veces intento de nuevo derivaciones en tiempo real para mantenerlo fresco. Hoy en día, llegamos al punto de pedir lo que fue el recíproco de $z=x+iy$. Dijimos: $w=a+ib$ y buscar soluciones de $wz=1$. Esto nos da: $$ wz = (a+ib)(x+iy) = ax-by+i(bx+ay) = 1+i(0).$$ Igualando las partes reales e imaginarias revela: $$ ax-by = 1 \qquad \& \qquad bx+ay = 0 $$ que es un sistema de ecuaciones lineales que tiene la forma de la matriz: $$ \left[ \begin{array}{cc} x & -y \\ y & x \end{array}\right]\left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right] $$ Podemos resolver para $[a,b]^T$ multiplicando por la inversa de la $2 \times 2$ matriz para los que tenemos a la mano, dandy fórmula $\displaystyle \left[ \begin{array}{cc} x & -y \\ y & x \end{array}\right]^{-1} = \frac{1}{x^2+y^2}\left[ \begin{array}{cc} x & y \\ -y & x \end{array}\right]$. Por lo tanto, $$ \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right] = \frac{1}{x^2+y^2}\left[ \begin{array}{cc} x & y \\ -y & x \end{array}\right]\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right] = \frac{1}{x^2+y^2}\left[ \begin{array}{c} x \\ -y \end{array}\right].$$ Por lo tanto, $a = \frac{x}{x^2+y^2}$$b = \frac{-y}{x^2+y^2}$, por lo que $$\frac{1}{z}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}.$$ Me acabo de enterar de esto una buena ilustración de JHance del comentario. En esta rutina de cálculo que nos tropezamos en la $2 \times 2$ representaciones de ambos $z=x+iy$$1/z$. Así, tal vez, la verdadera pregunta no es cuando la representación de la matriz fue entregado por primera vez. Más bien, la pregunta real es, simplemente, cuando fue el álgebra de pequeñas matrices. Deduzco de yoknapatawpha del puesto de 1858 papel de Cayley puede ser un par de años antes que el trabajo. Al parecer, el término de la matriz es el latín para "vientre" y es debido a Sylvester en 1850, como se puede leer en la historia de matrices. Esto me hace pensar que puede existir una cierta mejora en la Cayley respuesta.