Pregunta sobre "bien definido"

Question

Tengo los siguientes deberes:

Dejemos que $(X, \mu, \Sigma)$ sea un espacio de medidas. Definimos una transformación preservadora de la medida como un mapa medible $T: X \rightarrow X$ tal que para cualquier $A \in \Sigma, \mu(T^{-1}(A)) = \mu(A)$ . Dicha transformación induce una transformación $U_T$ en $L^2 (X; \mu)$ dado por $$ f \mapsto U_T(f) = f \circ T$$

Demostrar que $U_T$ es una transformación bien definida de $L^2$ a sí mismo.

Mi pregunta: ¿es suficiente demostrar que $f \in L^2 \implies U_T(f) \in L^2$ ?

En términos más generales: cuando veo la palabra "bien definido", ¿cómo puedo saber qué significa? Cada vez significa algo diferente y nunca sé realmente qué. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Eso es ciertamente parte de ello. Pero también te puede preocupar que porque $L^2$ consiste en clases de equivalencia de funciones - identificamos las funciones cuadradas-integrables que coinciden fuera de un conjunto de medida cero - la imagen putativa $[f \circ T]$ de una clase $[f]$ puede depender del representante $f$ .

En mi experiencia, esto es a lo que se refiere "bien definido": Estoy definiendo un mapa a partir de un conjunto de clases de equivalencia utilizando representantes de esas clases, y quiero comprobar que mi elección de representante no importa. Por ejemplo, en álgebra básica uno quiere verificar que si $K$ es el núcleo de un homomorfismo de grupo $\varphi\colon G \to G'$ entonces el mapa $G/K \to G'$ enviando $xK \mapsto \varphi(x)$ está bien definida.