Función delta de Dirac dividida por la función delta de Dirac

Question

¿Está definido lo siguiente? (Función delta de Dirac dividida por la función delta de Dirac)

$$f = \frac{\delta}{\delta} = ?$$

Answer 1

No sé si lo siguiente es lo que buscas, pero: Para darle un sentido a la división, lo que puedes hacer es buscar funciones $\phi \in \mathcal E^0(\mathbb R)$ (es decir, funciones continuas $\mathbb R \to \mathbb R$ que cumplen $\phi \delta = \delta$ . En cuanto a cualquier $\psi \in \mathcal D(\mathbb R)$ tenemos $$(\phi \delta)(\psi) =\delta(\phi\psi) = \phi(0)\psi(0) = \phi(0)\delta(\psi), $$ es decir $\phi \delta = \phi(0)\delta$ , por lo que tenemos $$\phi \delta = \delta \iff \phi(0) = 1. $$

Answer 2

Recuerde $\delta$ se define "operativamente" por su efecto bajo la integración. Así que $\delta$ / $\delta$ necesita más contexto, por ejemplo, como

( $\delta$ (x-y),f(x))/( $\delta$ (x-y),g(x)),

donde (.,.) es el producto interior, antes de poder responder a la pregunta. En este caso $\delta$ / $\delta$ = 1 sólo si f(y)=g(y). De lo contrario, los resultados podrían ser una de muchas otras cosas.