Una cita de Arnold

Question

Arnold dijo lo siguiente en una charla en la enseñanza:

Jacobi señaló, como las matemáticas' más fascinantes de la propiedad, que es una y la misma función de los controles tanto de las presentaciones de un número entero como suma de cuatro cuadrados y el movimiento real de un péndulo.

¿Cuál es el significado de esto? Es la función que él mencionó la theta de la función o algo más? ¿Cuál es la relación con el movimiento real de un péndulo?

Answer 1

Él se refiere a funciones elípticas.

Si, en lugar de utilizar el oscilador armónico ecuación de un péndulo, se utiliza la expresión con la real fuerza, se obtiene una integral elíptica para el tiempo como una función del ángulo (véase, por ejemplo, Juan Báez de la hoja de cálculo de ejemplo http://math.ucr.edu/home/baez/classical/pendulum.pdf).

Tomando la inversa para obtener el ángulo como una función del tiempo se obtiene una función elíptica, por Jacobi de la definición de funciones inversas de las integrales elípticas. Jacobi hecho de que la definición en una analogía a la forma de conseguir que el pecado cos y tan como funciones inversas de ciertas integrales.

Como para la descomposición en cuadrados, recuerdo que en Hardy y Wright Introducción a la Teoría de los Números hay tres pruebas del teorema de los cuatro cuadrados. Uno de ellos es "primaria", se usa la integral cuaterniones/Hurwitz enteros, y el tercero utiliza funciones elípticas. Este último es uno (una versión más reciente de?) Jacobi de la prueba.

Answer 2

OP adivinar de "theta funciones" no está muy lejos; es bien conocido (a los que les conocen) que el Jacobiano elíptica función de $\mathrm{sn}(u\mid m)$, que se convierte en la solución de la DE para el péndulo, se pueden expresar como un cociente de funciones theta. (Probablemente debería hacerse hincapié en que Jacobi estudiado tanto la theta de funciones y las funciones elípticas ahora nombrado después de él, así que sin duda era bien consciente de esta conexión.)

Como para la suma de cuatro cuadrados: como se indica en este artículo de revisión, Jacobi mostraron que la función theta $\vartheta_3(0,q)^d$ es la generación de la función para el número de formas para representar a $k$ $d$ plazas $r_d(k)$; es decir,

$$\vartheta_3(0,q)^d=\sum_{k=0}^\infty r_d(k) q^k$$

Ahí lo tienen: dos aparentemente no relacionados, para aplicaciones donde el theta funciones de los cultivos.