Determinar si una matriz concreta es diagonalizable

Question

Mi profesor me dio este ejercicio:
Determina si esta matriz es diagonalizable $ \begin{pmatrix} 1 & 1&1&1\\ 1&2&3&4\\ 1&-1&2&-2\\ 0&0&1&-2 \end{pmatrix} $

He intentado calcular el polinomio característico, es decir $-13 + 10 x + x^2 - 3 x^3 + x^4$ pero no sé cómo seguir. He intentado mirar las raíces del polinomio característico con Wolfram Alpha y son horribles. ¡Así que creo que debe existir una forma alternativa de hacerlo! ¿Tienes alguna idea? ¡Gracias!

Answer 1

Una pista: La matriz es diagonalizable (sobre $\mathbb C$ ) si, y sólo si, tiene "cuatro" valores propios. En particular, si la matriz tiene cuatro valores propios distintos, entonces es diagonalizable. Utilizando el polinomio característico, ¿puedes demostrar que la matriz tiene cuatro valores propios distintos?

Más pistas: Recordemos que dada una función polinómica $P$ cuyos coeficientes son todos reales, se cumple que $\forall z\in \mathbb C\left(P(z)=0\implies P(\overline z)=0\right)$ . Dado que el polinomio característico es un polinomio real de cuarto grado (¡par!), o bien todas las raíces no son reales, o bien hay exactamente "dos" (cuidado con las multiplicidades) raíces reales, o bien todas las raíces son reales. Utilice la teorema del valor intermedio teorema para demostrar que hay al menos dos raíces reales y comprobar la derivada para demostrar que no hay más de dos raíces reales.

Answer 2

Si las raíces del polinomio característico son distintas, la matriz es diagonalizable (la Forma normal de Jordania se compone de $1\times1$ Bloques de Jordania ). Las raíces del polinomio $P$ son distintos si $\deg(\gcd(P,P'))=0$ (si $(x-a)^n$ divide $P$ entonces $(x-a)^{n-1}$ divide $P'$ ).

Utilizando el Algoritmo euclidiano polinómico ampliado en $\color{#C00000}{P}$ y $\color{#00A000}{P'}$ obtenemos $$ \begin{align} &(1822x^3-1987x^2-2613x+10903)(\color{#00A000}{4x^3-9x^2+2x+10})\\ &-(7288x^2-2482x-3659)(\color{#C00000}{x^4-3x^3+x^2+10x-13})\\ &=61463 \end{align} $$ Así, $\deg(\gcd(P,P'))=0$ y, por tanto, la matriz es diagonalizable.