$\lim_{x\to 1} (x^3+2x^2-2)=1$ utilizando la definición

Question

Para demostrar que $\lim_{x\to 1} (x^3+2x^2-2)=1$

dejar $\varepsilon>0$ y $x\in\mathbb{R}$

debemos encontrar $\delta>0$ de manera que si $|x-1|<\delta $ entonces $|x^3+2x^2-2-1|<\varepsilon$

Yo sí:

$$ |x^3-1+2x^2-2|\leq |x^3-1|+2|x^2-1|=|x^3-1|+2 |(x-1)| |(x+1)|= $$ $$ |x-1|(|x^2+x+1|+2|x+1|)\leq \delta (|x^2+x+1|+2|x+1|) $$

¿cómo continuar?

Answer 1

$$|x^3+2x^2-2-1|= |(x-1)(x^2+3x+3)|<\delta |x^2+3x+3|<13\delta <\varepsilon $$

Siempre que $$0<\delta < \min \{1,\epsilon/13\}$$

Answer 2

Para hacerlo más fácil (siempre prefiero tener variables vayan a cero), deje $x = y+1$ .

Entonces

$ f(x)=x^3+2x^2-2 =(y+1)^3+2(y+1)^2-2\\ =y^3+3y^2+3y+1 +2(y^2+2y+1) -2\\ =y^3+5y^2+7y\\ =y(y^2+5y+7) $

y es fácil ver lo que sucede como $y \to 0$ .

En particular, si $|y| < 1$ (es decir, $|x-1| < 1$ ), entonces $|f(x)| \lt 13|y| = 13|x-1| $ .

Answer 3

Puedes ir por el otro lado

$|x - 1|<\delta$

$-\delta < x-1 <\delta$

$1-\delta < x < 1+\delta$

Si asumimos $0 < \delta < 1$ entonces

$(1-\delta)^3 + 2(1-\delta)^2 - 2 < x^3 + 2x^2-2 < (1+\delta)^3 + 2(1+\delta)^2 - 2$

$-\delta^3 +4\delta^2 -5\delta + 1 < x^3 + 2x^2-2<\delta^3 + 4\delta^2 +5\delta + 1$

Ahora bien, si asumimos $0 < \delta<1$ entonces $0< \delta^3 <\delta^2 < \delta < 1$ así que

$-\delta^3 + 4\delta^2 - 5\delta + 1 > -\delta^3 + 4\delta^3 -5\delta + 1=$

$-3\delta^3 - 5\delta + 1 > -3\delta - 5\delta + 1 = -8\delta + 1$ .

Y $\delta^3 + 4\delta^2 +5\delta + 1 < \delta + 4 \delta + 5 \delta + 1=10\delta + 1$ .

Así que $-10\delta + 1<-8\delta+1 < x^3 + 2x^2-2< 10\delta + 1$

Así que $-10\delta < x^3 + 2x^2 -2 - 1 < 10 \delta$

$|(x^3 + 2x^2 - 2)-1|< 10\delta$ .

Por lo tanto, si establecemos $\delta = \min(\frac \epsilon {10}, 1)$ entonces

$|x-1| < \delta \implies |(x^3 + 2x^2 - 2)-1|< 10\delta \le \epsilon$

Answer 4

Por su delimitación, dejemos que wlog $|x-1|<1$ entonces

$$ |x^3-1+2x^2-2|\leq |x^3-1|+2|x^2-1|=|x^3-1|+2 |(x-1)| |(x+1)|=$$

$$=|x-1|(|x^2+x+1|+2|x+1|)\leq 13 |x-1|$$

entonces basta con tomar $\delta \le \frac{\epsilon}{13}$ , suponiendo que wlog $\epsilon \le 13$ , de lo contrario, podemos establecer $\delta \le\min \{\frac{\epsilon}{13},1\}$ .