¿Por qué? $SU(2)$ y $SL(2,\mathbb{C})$ tienen el mismo álgebra de Lie?

Question

Las álgebras de Lie $su(2)$ y $sl(2,\mathbb C)$ tienen el mismo Diagrama de Dynkin (sólo una mancha) y, por tanto, también tienen las mismas constantes de estructura y álgebras de Lie isomorfas. Además, ambas son, como se puede demostrar, simples y semisimples. Pero ambos grupos de Lie no son isomorfos (ya que el último no es compacto) ni uno es un grupo de cobertura del otro. ¿Cómo es posible?

Answer 1

No tienen el mismo álgebra de Lie : $SU_2$ tiene una dimensión real $3$ y $SL_2(\Bbb C)$ tiene una dimensión compleja $3$ . Lo que sí es cierto es que $\Bbb C \otimes \mathfrak{su}_2 \cong \mathfrak{sl}_2$ . Para entender la conexión, las palabras clave son "complejización de un álgebra de Lie" o "forma compacta de un grupo de Lie complejo".

Answer 2

En realidad, también sobre los números reales, las álgebras de Lie $\mathfrak{su}(2)$ y $\mathfrak{sl}_2(\Bbb{R})$ son diferentes; considera sus formas de matar:

Las formas de matar de $\mathfrak{su}(n)$ y $\mathfrak{sl}(n,\Bbb R)$ no son isomorfas (como álgebras de Lie reales)

En general, dos grupos de Lie (simples) con la misma álgebra de Lie pueden ser diferentes. Para este tema, echa un vistazo a los posts de este sitio:

¿Cómo son los grupos con el mismo Álgebra de Lie no equivalentes?

Número infinito de grupos de Lie con la misma álgebra de Lie

Los grupos tienen la misma álgebra de Lie