Si $I$ es nilpotente de generación finita y $R/I^{n-1}$ es noetheriano entonces $R$ es noetheriano

Question

Si $I$ es un ideal finitamente generado de un anillo conmutativo $R$ con $1$ tal que $I^n = \{0\}$ y $R/I^{n-1}$ es noetheriano, entonces $R$ también es noetheriano.

No sé qué debo hacer. Si puedo demostrar, por ejemplo, que $I^{n-1}$ está generada finitamente como $R/I^{n-1}$ entonces puedo deducir que es noetheriano como $R$ -módulo y ya está. Pero no sé si eso es cierto y cómo probarlo.

Gracias.

Añadido: también no es posible demostrar que $I^{n-1}$ está generada finitamente sin necesidad de que $I^n = \{0\}$ ? (Acabo de darme cuenta)

Quiero decir que puedo probar que si $I$ y $J$ son ideales generados finitamente, entonces $IJ$ también está generada finitamente así que por inducción si $I_1,...,I_k$ son generados finitamente entonces $I_1...I_k$ es así. Así que $I^{n-1}$ está generada finitamente como $R/I^{n-1}$ por lo que es noetheriano como $R$ -módulo so $R$ es entonces noetheriano. ¿Hay algún problema con esto?

Answer 1

Desde $I^n=0$ el ideal $I^{n-1}$ es una entidad finitamente generada $R/I^{n-1}$ -es de generación finita (cualquier potencia de un ideal de generación finita es de generación finita) y $I^{n-1}\cdot I^{n-1}=0$ ; véase también aquí . Ahora utiliza la secuencia exacta de $R$ -módulos $$0\to I^{n-1}\to R\to R/I^{n-1}\to 0.$$