Subgrupos isomorfos pero no conjugados de $GL(n,\mathbb{Z})$ ?

Question

Un amigo interesado en la cristalografía me ha hecho algunas preguntas, y las siguientes (no soy un experto) me resultaron espontáneas:

1) ¿Existen dos subgrupos finitos $P,P'\subset\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ que son abstractamente isomorfas pero no conjugadas en $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ ?

--

2) ¿Existen dos subgrupos finitos $P,P'\subset\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ que son abstractamente isomorfas pero no conjugadas en $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ ?

--

3) ¿Y si no asumimos $P$ y $P'$ ser finito? (vale, esto no tiene nada que ver con la cristalografía)

(Es posible que sean resultados clásicos y bien conocidos, de ahí la etiqueta "solicitud de referencia")

Answer 1

La respuesta a las tres preguntas es sí y ciertamente es clásica.

Un ejemplo sencillo es el siguiente:

Dejemos que $C_2$ actuar fielmente en el plató $\{1,2,3,4\}$ de dos maneras. En la primera, el elemento no trivial de $C_2$ intercambios 1,2 y también intercambios 3,4. En el segundo, el elemento no trivial intercambia 1,2 y fija 3,4.

Cada acción define una representación de $C_2$ en $\mathbb{Z}^4$ mediante matrices de permutación. En un caso la traza de la matriz de permutación no trivial es $0$ en el otro $2$ por lo que las imágenes no pueden ser conjugadas en $GL_4(\mathbb{Z})$ o $GL_4(\mathbb{R})$ sin embargo ambos generan un subgrupo $C_2$ en el primero.

Está bastante claro que esta idea se generaliza a cualquier clase de isomorfismo de grupos finitos.

Answer 2

Ya que nadie ha mencionado explícitamente la teoría del carácter y la teoría de la representación, diré unas palabras. Si tenemos un grupo finito $G$ y dos representaciones (fieles, es decir, con núcleo trivial) $\sigma, \tau : G \to {\rm GL}(n,F)$ donde $F$ es un campo de característica cero, preguntando si $G\sigma$ y $G\tau$ son conjugados en ${\rm G}(n,F)$ es lo mismo que preguntarse si las representaciones son equivalentes sobre $F.$ Una condición necesaria obvia es que $g \sigma$ y $g\tau$ tienen la misma traza para todos los $g \in G,$ pero la teoría de los caracteres (y algo de la teoría de los índices de Schur, etc.) nos dice que esta condición es suficiente si la representación es irreducible, y entonces, con algo de trabajo, en general (el campo $F$ no necesita estar cerrada algebraicamente para llegar a esta conclusión. El punto (bien conocido) es que en el caso irreducible, si las dos representaciones se pueden entrelazar sobre una extensión n de $F,$ ya se pueden entrelazar sobre $F.$ La cuestión de las representaciones integrales es más difícil. Puede ser que las representaciones $\sigma, \tau : G \to {\rm GL}(n,\mathbb{Z})$ son equivalentes después de extender el anillo de tierra a $\mathbb{Q},$ pero no son equivalentes como representaciones sobre $\mathbb{Z}.$ Un teorema relevante que pone algo de control en la situación es el de Jordan-Zassenhaus. Un ejemplo es que ${\rm GL}(2,\mathbb{Z})$ tiene dos subgrupos isomorfos al grupo diédrico $D$ con $8$ elementos que no son conjugados dentro de ${\rm GL}(2,\mathbb{Z}),$ pero son conjugados como subgrupos de ${\rm GL}(2,\mathbb{Q}).$ El grupo $D$ tenía dos Klein normales $4$ -subgrupos $U$ y $V$ . Si inducimos un $1$ -Representación dimensional de $U$ a $D$ obtenemos un subgrupo $E$ de ${\rm GL}(2,\mathbb{Z})$ isomorfo a $D,$ y podemos hacer lo mismo con $V$ para obtener otro subgrupo $E^{\prime}.$ Los subgrupos $E,E^{\prime}$ no son conjugables dentro de ${\rm GL}(2,\mathbb{Z}),$ pero las representaciones ofrecen el mismo carácter, por lo que son equivalentes como representaciones racionales. (La razón técnica es que si pasamos a un anillo local apropiado con campo de residuos de característica $2,$ tenemos dos módulos indecomponibles que tienen vértices no conjugados, por lo que no son isomorfos).

Answer 3

La respuesta es "sí" a las tres preguntas. Consideremos dos matrices $a=diag(-1,-1,-1)$ y $b=diag(1,1,-1)$ . Los subgrupos de $GL_3(\mathbb{R})$ generadas por estas matrices son isomorfas (de orden 2) pero no conjugadas porque hay diferentes multiplicidades de valores propios.

Answer 4

Si dos homomorfismos $h,h':G\to GL_n(\mathbb Q)$ son conjugados en $GL_n(\mathbb R)$ entonces son conjugados en $GL_n(\mathbb Q)$ . Para ver esto, considere el conjunto de todas las matrices racionales $X$ tal que $Xh(g)=h'(g)X$ para todos $g$ . Este es un espacio vectorial racional, y una base para él es una base real para el correspondiente espacio de matrices reales. Se deduce fácilmente que la existencia de dicha matriz real con determinante distinto de cero implica la existencia de dicha matriz racional con determinante distinto de cero. Este argumento no requiere $G$ ser finito (o, para el caso, ser un grupo).

Pero se pueden encontrar fácilmente dos elementos no conjugados de orden $2$ en $GL_2(\mathbb Z)$ que se conjugan en $GL_2(\mathbb Q)$ .