Planos proyectivos finitos

Question

¿Cómo de grande es un conjunto de puntos en posición general (es decir, no hay tres colineales) puede encontrarse en un plano proyectivo finito de orden $n$ ?

Espero que las respuestas no sean demasiado técnicas, ya que no sé casi nada de planos proyectivos aparte de la definición.

Motivación: Quiero usar esto para un ejemplo en teoría de grafos.

Mi trabajo: Si $S$ es un conjunto de puntos en posición general, entonces $|S|\le n+2$ ya que $S$ tiene como máximo un punto $p$ y otro punto en cada uno de los $n+1$ líneas a través de $p$ . Así que $n+2$ es un límite superior. Para un límite inferior, sea $S$ sea cualquier máximo conjunto de puntos en posición general y observar que $\binom{|S|-1}2\ge n$ De ahí que $|S|\ge\frac{3+\sqrt{1+8n}}2$ .

Answer 1

Un arco es un conjunto de puntos, no tres colineales. Un arco es completa si es maximal con respecto a la inclusión de conjuntos. Por lo tanto, estás preguntando por el tamaño máximo de un arco completo.

Según este documento Parece que este es un problema difícil en general, aunque si $n$ es par, entonces se alcanza su límite superior, y si $n$ es impar, entonces se puede mejorar a $n+1$ .

Tenía la esperanza de encontrar una prueba para el $n$ incluso el caso (debido a Segre), pero parece ser un poco demasiado oscuro. Esperemos que tenga mejor suerte. En realidad no me queda claro si "sólo" lo probó por $n=2^k$ .

Answer 2

El tamaño de un arco es siempre menor que $n+2$ como ha señalado. Sin embargo, $n+2$ sólo puede ocurrir si $n$ está en paz. Para ver esto, tome una colección de $n+2$ puntos no tres colineales; entonces no puede tener líneas tangentes. Por lo tanto, toda línea o bien se encuentra con $0$ o $2$ puntos del arco. Tome un punto no en el arco, y considerar todas las secantes al arco que pasan por ese punto. Tiene que haber $(n+2)/2$ secantes por lo que $n$ ¡debe ser parejo!

Cuando el avión está $PG(2,q)$ q es una potencia primera, entonces siempre tienen $q+1$ -arcos ( óvalos ) definida por una cónica. Estas son las únicas $q+1$ -arcos cuando $q$ es impar. Cuando $q$ es par, estos pueden extenderse a $q+2$ -arcos ( hyperovals ). Más interesante, tenemos $q+2$ -arcos que son no cónicas, y éstas no están clasificadas. El problema difícil al que se refiere Casteels es en realidad encontrar pequeño arcos que son completa Es decir, no se pueden ampliar. Por lo general, si los arcos son lo suficientemente grandes, siempre pueden ampliarse.

También hay problemas interesantes relacionados con los arcos en los planos proyectivos no desarguesianos. ¿Podemos encontrar siempre óvalos? Algunos planos (los de Hall) pueden heredarlos de los planos desarguesianos, pero este problema está abierto en general (de hecho ni siquiera conocemos todos los planos).