Definición del flujo de una EDO y su inversa

Question

En la lección, el profesor considera un flujo $\Phi$ dadas por las soluciones del sistema de odas para $t\in[0, T]$ y $x\in\mathbb R^d$ , $$ \begin{cases} y'(s)=b(y(s), s),&s\leq T\\ y(t)=x \end{cases},\qquad(\star) $$ es decir $\Phi(x, t, s)=y(s)$ resolver $(\star)$ . Dijo que nos ocuparemos sobre todo de $\Phi(\cdot, 0, \cdot)$ . El campo $b$ se supone que es continua de Lipschitz en ambas variables y acotada.

A continuación, induce a la inversa $\Psi$ del flujo anterior de la siguiente manera: $\Psi(x, 0, s)=y(s)$ Satisfaciendo a $$ \begin{cases} y'(s)=-b(y(s), t-s),&s<t\leq T\\ y(0)=x \end{cases},\qquad(\triangle) $$ y dijo que $\Psi$ es tal que $$ \Phi(\Psi(x, 0, s), 0, s)=x,\quad \Psi(\Phi(x, 0, s), 0, s)=x.\qquad (\star\star) $$ No entiendo $(\star\star)$ . ¿Puede alguien ayudarme? ¿Quizás la definición de la inversa es incorrecta?

Gracias

Answer 1

Después de que @lutz-lehmann señalara que mis argumentos se aplicarían sólo a un sistema autónomo, intentaré hacer un argumento análogo para el sistema autónomo relacionado.

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Me ceñiré a la $t = 0$ caso.

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Dejemos que $s\mapsto\mathbf{u}(s) = [y(s),~s]^{\mathsf{T}}$ sea la solución de \begin{eqnarray} \frac{d}{ds}\left[\begin{array}{c}y(s)\\s\end{array} \ right] &=& \left[ \begin{array}{c}b(y(s),s)\\1\end{array}\right] ~=~ \left[\begin{array}{c}b(\mathbf{u}(s))\\1\end{array} \derecha],\Ny \(0) &=& izquierda[ \begin{array}{c}x\\0\end{array}\right]. \end{eqnarray}

Desde $b$ El argumento de la empresa es $\mathbf{u}(s)$ Este sistema es autónomo.

Dejemos que $U$ sea el flujo de este sistema autónomo. Entonces $U(\cdot,\cdot,s)$ mapeará las condiciones iniciales de este ejemplo como sigue: \begin{equation} U(\cdot,\cdot,s):\left[\begin{array}{c}x\\0\end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{c}y(s)\\s\end{array} \[derecha]. \fin{s} {equipamiento} En otras palabras, \begin{equation} U(x,0,s) = \left[\begin{array}{c}\Phi(x,0,s)\\s\end{array} \[derecha]. \fin{s} {equipamiento}

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Dejemos que $s\mapsto\mathbf{v}(s) = [w(s),-s]^{\mathsf{T}}$ sea la solución de \begin{eqnarray} \frac{d}{ds}\left[\begin{array}{c}w(s)\\-s\end{array} \ right] &=& \left[ \begin{array}{c}-b(w(s),-s)\\-1\end{array}\right] ~=~ \left[\begin{array}{c}-b(\mathbf{v}(s))\\-1\end{array} \derecha],\Ny \(0) &=& izquierda[ \begin{array}{c}x\\0\end{array}\right]. \end{eqnarray} Este sistema también es autónomo.

Dejemos que $V$ sea el flujo de este sistema. Entonces $V(\cdot,\cdot,s)$ mapea las condiciones iniciales de este ejemplo como sigue: \begin{equation} V(\cdot,\cdot,s):\left[\begin{array}{c}x\\0\end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{c}w(s)\\-s\end{array} \[derecha]. \fin{s} {equipamiento} En otras palabras, \begin{equation} V(x,0,s) = \left[\begin{array}{c}\Psi(x,0,s)\\-s\end{array} \[derecha]. \fin{s} {equipamiento}

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Desde $U$ es el flujo de un sistema autónomo, $U(\cdot,\cdot,s)$ empuja una solución $\mathbf{u}$ de su valor en cualquier momento (debido al campo vectorial de desanclaje) a su valor $s$ unidades de tiempo más tarde. La complicación aquí es que $w(s)$ no es un punto fijo.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que en cada punto $(x,t)$ los lados derechos vectoriales de los dos sistemas autónomos sólo difieren en el signo: uno es $[b(x,t),~1]^{\mathsf{T}}$ y el otro es $[-b(x,t),-1]^{\mathsf{T}}$ . Eso significa que la solución de una es la solución de la otra si se retrocede en el tiempo.

Esto implica que $V(\cdot,\cdot,s) = U(\cdot,\cdot,-s)$ . Esto, a su vez, implica que, como $[y(s),~s]^{\mathsf{T}}$ y $[w(s),-s]^{\mathsf{T}}$ comenzó en el mismo punto ( $[x,~0]^{\mathsf{T}}$ ) en el momento $0$ y evolucionaron según campos vectoriales de sentido contrario, $w(s) = y(-s)$ .

\begin{eqnarray} \Phi(\Psi(x,0,s),0,s) &=& \Phi(w(s),0,s)\\ &=& \Phi(y(-s),0,s)\\ &=& \Phi(\Phi(x,0,-s),0,s)\\ &=& x \end{eqnarray}

Estoy seguro de que esto se puede argumentar con mucha más sofisticación, pero creo que la forma aproximada del argumento está clara. Pido disculpas por la respuesta anterior completamente incorrecta.