Factorizar el operador diferencial $[D^2-(x^2+1)]$ en dos operadores lineales de primer orden

Question

Estoy tratando de factorizar el operador diferencial $[D^2-(x^2+1)]$ en dos operadores lineales de primer orden. Pero no he podido.

Estoy tratando de dividirlo en $[D+A][D-B]f=[D^2-(x^2+1)]f$ . Pero al final me sale una ecuación diferencial muy fea que no puedo resolver (Debería ser fácil).

¿Hay alguna pista?

Gracias

Answer 1

La factorización significa que para cualquier función diferenciable $f(x)$ y para algunos $a(x)$ y $b(x)$ que tenemos: $$ (D^2 - (x^2+1)) \circ f(x) = f^{\prime\prime}(x) - (x^2+1) f(x) = \left( D + a(x) \right) \left(D + b(x) \right) \circ f(x) $$ Comienza a expandir el lado derecho: $$\begin{eqnarray} \left( D + a(x) \right) \left(D + b(x) \right) \circ f(x) &=& \left( D + a(x) \right) \circ \left( f^{\prime}(x) + b(x) f(x)\right) \\ &=& f^{\prime\prime}(x) + \left(b(x) f(x)\right)^\prime + a(x) f^\prime(x) + a(x) b(x) f(x) \\ &=& f^{\prime\prime}(x) + \left( a(x) + b(x) \right) f^\prime(x) + \left( a(x) b(x) + b^\prime(x) \right) f(x) \end{eqnarray} $$ Dado que la identidad debe cumplirse para cualquier $f(x)$ deberíamos tener $a(x) + b(x) = 0$ y $a(x) b(x) + b^\prime(x) = -x^2-1$ , dando $a(x) = -b(x) = x$ . Así, $$ (D^2 - (x^2+1)) = (D + x)( D-x) $$