Bijección entre localizaciones exactas izquierdas de $PSh(C)$ y las topologías de Grothendieck en $C$

Question

Dejemos que $C$ ser una categoría pequeña. Me gustaría entender, por qué hay una correspondencia biyectiva entre

1. Localizaciones exactas de la izquierda de $PSh(C)$ , es decir, subcategorías reflexivas $$ a\colon PSh(C)\leftrightarrows D:i $$ tal que a conmuta con límites finitos

y

2. Topologías de Grothendieck en $C$ .

Por supuesto, si $C$ está dotada de una topología de Grothendieck, entonces se asocia la categoría $D=Sh(C)$ con la sheafificación $a$ y la inclusión $i$ . Este es un objeto de (1.) y por lo tanto define un mapa "(2.)-->(1.)".

Mi pregunta es:

¿Cómo puedo construir un mapa inverso "(1)-->(2)" a este mapa?

Sé que (1.) puede utilizarse como definición de un (Grothendieck) topos $D$ y por citación ciega sé que cada topos de este tipo es equivalente a la categoría de gavillas en algún sitio $C'$ . Pero no sé por qué uno puede elegir $C'=C$ y tampoco puede ver la estructura de una prueba. Gracias.

Answer 1

Dada una subcategoría reflexiva de $\mathbf{Psh} (\mathcal{C})$ definir un tamiz $\mathfrak{U}$ en un objeto $X$ en $\mathcal{C}$ es un tamiz de cobertura si el reflector $a : \mathbf{Psh} (\mathcal{C}) \to \mathcal{D}$ envía la inclusión $\mathfrak{U} \hookrightarrow h_X$ en $\mathbf{Psh} (\mathcal{C})$ a un isomorfismo en $\mathcal{D}$ .

Si $a : \mathbf{Psh} (\mathcal{C}) \to \mathcal{D}$ preserva los límites finitos, entonces:

1. Lo anterior define una topología de Grothendieck sobre $\mathcal{C}$ .
2. Cada objeto en $\mathcal{D}$ es una gavilla con respecto a esta topología de Grothendieck.
3. Toda gavilla es isomorfa a un objeto en $\mathcal{D}$ .

Las dos primeras afirmaciones son fáciles. La tercera requiere un trabajo real. Una forma es observar que las subcategorías reflexivas están determinadas por los morfismos que el reflector envía a isomorfismos. Dado que $\mathcal{D}$ es un topos y $a : \mathbf{Psh} (\mathcal{C}) \to \mathcal{D}$ preserva los límites finitos, basta con entender qué morfismos $a : \mathbf{Psh} (\mathcal{C}) \to \mathcal{D}$ envía a los epimorfismos. Para ello, puedes utilizar las propiedades de exactitud de las topos. Si necesitas más información, busca operadores de cierre universales.