Par de números consecutivos sin cuadrado con $n$ factores primos distintos

Question

Dejemos que $(a,a+1)$ sea el menor par de números libres de cuadrados con $n$ distintos factores primarios, si tal par existe.

Las soluciones para los pequeños $n$ son:

\begin{array} nn & (a&a+1) & \text{Factorisation}\\ \hline 2 & 14 & 15 & [2, 1; 7, 1] & [3, 1; 5, 1]\\ 3 & 230 & 231 & [2, 1; 5, 1; 23, 1] & [3, 1; 7, 1; 11, 1]\\ 4 & 7314 & 7315 & [2, 1; 3, 1; 23, 1; 53, 1] & [5, 1; 7, 1; 11, 1; 19, 1]\\ 5 & 378014 & 378015 & [2, 1; 7, 1; 13, 1; 31, 1; 67, 1]& [3, 1; 5, 1; 11, 1; 29, 1; 79, 1]\\ 6 & 11243154 & 11243155 & etc. \end{array}

¿Existe un par para cualquier número natural $n$ ?

Answer 1

Para demostrar que es posible que dos números consecutivos tengan $n$ o más factores primos cada uno (problema revisado como se menciona en los comentarios) es bastante fácil: elegir cualquier $n$ diferentes primos que te gusten y deja que $m_1$ sea su producto; elija cualquier otro $n$ primos que te gustan y deja que $m_2$ sea su producto. Entonces quieres encontrar $a$ Satisfaciendo a $$a\equiv0\pmod{m_1}\quad\hbox{and}\quad a\equiv-1\pmod{m_2}\ ;$$ pero $m_1$ y $m_2$ no tienen ningún factor común, por lo que el Teorema Chino del Resto garantiza que este sistema de ecuaciones de congruencia tiene solución.

Sin embargo, $a$ y $a+1$ tendrá muy probablemente factores primos distintos de los que hemos "plantado", por lo que esto no asegura que $a$ y $a+1$ son libres de cuadrados.