Extracción de polinomios Bernoulli a partir de su función generadora

Question

La función generadora de los polinomios de Bernoulli es

$$ \frac{te^{tx}}{e^t-1} = \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}$$

La única forma que conozco de sacar los coeficientes es utilizar el teorema de Taylor. Pero para usar el teorema de Taylor, necesita tener derivadas en cero, y esto no lo tiene, porque siempre hay un $e^t-1$ en algún denominador, que a cero es indefinido.

Sin embargo, si en lugar de evaluar las cosas en cero, tomo el límite como $t \to 0$ Entonces parece que funciona. Como ejemplo, para el segundo "término",

$$ \lim_{t\to 0} \left(\frac{te^{tx}}{e^t-1} \right)^{(1)}\frac{t^0}{n!} = \frac{x-1/2}{n!} $$

Que funciona, ya que $B_1(x) = x - 1/2$ .

Mis preguntas son,

1) ¿Funciona realmente, y si es así, por qué? ¿Hay otros casos en los que tengamos series de potencias formales que sumen algo que no tenga una serie de Taylor en cero?

2) ¿Existe una forma mejor de extraer los polinomios de Bernoulli a partir de esa función generadora (sin usar otra fórmula)?

Answer 1

Como no se nos permite utilizar nada más, partimos de la definición $$\frac{te^{tx}}{e^t-1} = \sum_{n\ge 0} B_n(x) \frac{t^n}{n!}$$ y obtener $$B_n(x) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|t|=\epsilon} \frac{1}{t^{n+1}} \frac{te^{tx}}{e^t-1} \; dt$$ y por lo tanto $$[x^q] B_n(x) = \frac{n!}{q!\times 2\pi i} \int_{|t|=\epsilon} \frac{1}{t^{n+1}} \frac{t^{q+1}}{e^t-1} \; dt \\ = \frac{n!}{q!\times 2\pi i} \int_{|t|=\epsilon} \frac{1}{t^{n-q+1}} \frac{t}{e^t-1} \; dt.$$ Vemos que esto es cero para $q>n$ y además, $$[x^q] B_n(x) = \frac{n!}{q!} \frac{B_{n-q}}{(n-q)!} = {n\choose q} B_{n-q}.$$

Esto significa que hemos reducido el problema de calcular los polinomios de Bernoulli al problema de calcular los números de Bernoulli, ya que como ahora sabemos, $$B_n(x) = \sum_{q=0}^n {n\choose q} B_{n-q} x^q.$$

Esto puede hacerse diferenciando la función generadora $$\frac{t}{e^t-1} = \sum_{n\ge 0} B_n \frac{t^n}{n!}$$ para conseguir $$\frac{1}{e^t-1} - \frac{t}{(e^t-1)^2} e^t = \sum_{n\ge 1} B_n \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}.$$

La izquierda es $$\frac{1}{e^t-1} - \frac{1}{e^t-1} \frac{te^t}{e^t-1} \\ = \frac{1}{t} + \left(-\frac{1}{t} + \frac{1}{e^t-1}\right) - \frac{1}{t} \frac{te^t}{e^t-1} - \left(-\frac{1}{t} + \frac{1}{e^t-1}\right) \frac{te^t}{e^t-1}.$$

Extrayendo los coeficientes de estas funciones generadoras exponenciales tenemos obtenemos para $n\ge 0$

$$B_{n+1} = \frac{B_{n+1}}{n+1} - \frac{B_{n+1}(1)}{n+1} - \sum_{q=0}^n {n\choose q} \frac{B_{q+1}}{q+1} B_{n-q}(1).$$

Observe que $$\frac{te^t}{e^t-1} = t + \frac{t}{e^t-1}$$

y por lo tanto $$B_{n+1}(1) = B_{n+1} \quad\text{except for}\quad B_1(1) = 1 + B_1.$$

Esto da para $n\ge 1$ $$B_{n+1} = - {n\choose n-1} \frac{B_n}{n} - \sum_{q=0}^n {n\choose q} \frac{B_{q+1}}{q+1} B_{n-q} \\ = - B_n - \frac{B_{n+1}}{n+1} - \sum_{q=0}^{n-1} {n\choose q} \frac{B_{q+1}}{q+1} B_{n-q}$$ o $$B_{n+1}\frac{n+2}{n+1} = - B_n - \sum_{q=0}^{n-1} {n\choose q} \frac{B_{q+1}}{q+1} B_{n-q}$$

y finalmente $$B_{n+1} = - \frac{n+1}{n+2} B_n - \frac{n+1}{n+2} \sum_{q=0}^{n-1} {n\choose q} \frac{B_{q+1}}{q+1} B_{n-q}.$$

Esta recurrencia nos permite calcular el $B_n$ a partir de $B_0=1$ y $B_1=-\frac{1}{2}.$

Apéndice Wed Apr 22 22:47:07 CEST 2015. Como no tenía una referencia cuando escribí lo anterior no vi que hay una identidad mucho más simple una identidad mucho más simple que resulta de escribir $$t = (e^t-1) \sum_{n\ge 0} B_n \frac{t^n}{n!}.$$

Esto es $$t = e^t \sum_{n\ge 0} B_n \frac{t^n}{n!} - \sum_{n\ge 0} B_n \frac{t^n}{n!}.$$

Extracción de coeficientes para $n\ge 2$ y observando la convolución de dos funciones generadoras exponenciales en el primer término tenemos $$0 = \sum_{q=0}^n {n\choose q} B_q - B_n = \sum_{q=0}^{n-1} {n\choose q} B_q.$$ Esto da como resultado $$B_{n-1} {n\choose n-1} = -\sum_{q=0}^{n-2} {n\choose q} B_q$$ o $$B_{n-1} = -\frac{1}{n} \sum_{q=0}^{n-2} {n\choose q} B_q \quad\text{or}\quad B_m = -\frac{1}{m+1} \sum_{q=0}^{m-1} {m+1\choose q} B_q.$$